¿La conservación del momento para la ecuación clásica de Schrödinger se debe a una invariancia no relativista o a alguna invariancia más exótica?

Question

No tuve ningún problema en aplicar el teorema de Neothers para traslaciones a la ecuación no relativista de Schrödinger

$\mathrm i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(\mathbf{r},t) \;=\; \left(- \frac{\hbar^2}{2m}\Delta + V(\mathbf{r},t)\right)\psi(\mathbf{r},t)$

$\Longrightarrow\ \mathcal{L}\left(\psi, \mathbf{\nabla}\psi, \dot{\psi}\right) = \mathrm i\hbar\, \frac{1}{2} (\psi^{*}\dot{\psi}-\dot{\psi^{*}}\psi) - \frac{\hbar^2}{2m} \mathbf{\nabla}\psi^{*} \mathbf{\nabla}\psi - V( \mathbf{r},t)\,\psi^{*}\psi$

$\Longrightarrow\ \pi=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\psi}} \propto \psi^{*}$

$T[\psi]\propto \mathbf{\nabla} \psi$

$\Longrightarrow\ I_{\ \psi,{\ T_\text{(translation)}}}=\int\text d^3x\ \pi\ T[\psi]\propto \int\text d^3x\ \psi^{*} \mathbf{\nabla} \psi = \langle P \rangle_\psi$

Pero en realidad me pregunto por qué funciona eso, dado que la ecuación de Schrödigner es no invariante bajo transformaciones galileanas .

Es muy posible que el Grupo de Schrödinger con el que no estoy familiarizado, está lo suficientemente cerca del grupo galileano, que la cuarta línea $T[\psi]\propto \mathbf{\nabla} \psi$ es igual y esa es la razón. Me gustaría saber si la evaluación de la transformación infinitesimal es el único punto en el que uno tiene que conocer las transformaciones con las que realmente está tratando. ¿Es correcta mi suposición?

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Además, hay que recordar el "truco" para establecer la invariancia de Galileo tras la transformación convencional mediante la multiplicación del campo de Schrödinger por una fase (una fase que, entre otras cosas, depende de la masa):

Algunos autores cambian $\psi(r,t)$ a $\psi(r',t')=\psi(r-vt,t)$ como aquí en el artículo referenciado en wikipedia (también hay una versión de hace dos años en línea (google)), pero otros autores, como los redactores de la página en el primer enlace, también transforman $p$ a $p+mv$ en $\phi$ (lo que no cambia el hecho de que aún tengan que añadir una fase). Todo ello antes de la multiplicación de fases. Entonces, ¿cuál es la "forma correcta" aquí? Si hago estas transformaciones que implican una multiplicación de la fase, ¿sólo transformo los argumentos reales del campo escalar $\psi(r,t)$ o también transformo los objetos como $p$ que también se transforman clásicamente, pero que en realidad son sólo parámetros (y los valores propios) o el campo, y no argumentos?

Answer 1

La cantidad conservada correspondiente a la traslación es el generador de traslaciones. Esto es P, y se puede ver porque $e^{iPa}$ actuando sobre un estado $|x\rangle$ produce $|x+a\rangle$ .

Por simetría P-X, el operador $X$ genera traducciones en $P$ de modo que $e^{iXa}$ toma $|p\rangle$ a $|p-a\rangle$ (el signo menos viene dictado por la orientación del espacio de fases, pero también puede verse explícitamente a partir de la forma habitual de los operadores X,P). Así pues, el generador ingenuo de impulsos es

$$ mvX$$

Porque esto desplaza el impulso en $mv$ . Pero esto no tiene sentido, ¡porque no conmuta con H! Así que no es una simetría. Pero la razón es que se necesita un factor de fase dependiente del tiempo para fijar el espacio de fase. Una vez hecho esto, la cantidad conservada correcta B es

$$ vB = v(mX - Pt)$$

Lo que desplaza los estados propios del momento en $mv$ y se multiplica por una fase adicional. La cantidad $mX - Pt$ es la ley de conservación adicional para la invariancia de impulso, y es la ubicación del centro de masa. Para varias partículas, el generador de impulsos es:

$$ {\sum_i m_i X_i - Pt} $$

que desplaza cada uno de los momentos en $m_i v$ y corrige por una fase total.

El Hamiltoniano

$$ {p^2\over 2} + {p^4\over 4} + V(x) $$

Es un ejemplo de H que no es invariante de Boost pero sí de traslación. El movimiento en este H no conserva el centro de masa, pero conserva el momento. Otro ejemplo es un cristal, donde la p-dependencia va como $1-\cos(p)$ Así que, de nuevo, tienes invariancia de traslación (invariancia de traslación discreta - p es periódica), pero no invariancia de impulso. En el caso del cristal, la invariancia de refuerzo es una simetría accidental a p bajo.

Para ver cómo funcionan los impulsos en la imagen lagrangiana, mira aquí: ¿Invariancia galileana del Lagrangiano para una partícula puntual libre no relativista? .

Answer 2

Me encontré con este problema recientemente y me gustaría dar una explicación de por qué la corriente de momento de Noether no se conserva aquí.

La hipótesis que permite la conservación del tensor energía-momento es que $\delta\mathcal{L}=\partial_\mu K^\mu$ . Esto funciona si la transformación $\psi(\vec{r})\rightarrow\psi(\vec{r}+\vec{a})$ produce $\mathcal{L}(\vec{r})\rightarrow\mathcal{L}(\vec{r}+\vec{a})$ porque entonces $\delta\mathcal{L}=\vec{\nabla}\mathcal{L}\cdot\vec{a}=a^\mu\partial_\mu\mathcal{L}$ . Pero aquí $\mathcal{L}=\mathcal{L}(\cdots, \vec{r})$ (debido a $V(\vec{r})$ ) y, por tanto, la transformación de los campos no produce una transformación del Lagrangiano y la parte del momento del tensor energía-momento no se conserva.