Es el conjunto de cuerpos convexos incluir en un circuito cerrado de bola compacta?

Question

Considero que el conjunto de $\mathcal{K}_B$ de cuerpos convexos (convexo y compacto) que se incluyen dentro de la bola unidad cerrada de $\mathbb{R}^d$. Yo dotar a este conjunto con la distancia de Hausdorff. Es compacto?

Answer 1

Deje ${\mathcal C}_B$ denotar el espacio cerrado de subconjuntos de a $B$ equipada con métrica de Hausdorff. A continuación, ${\mathcal C}_B$ es compacto, ver, por ejemplo, aquí. Luego de comprobar, por lo que el argumento de que ${\mathcal K}_B$ es un subconjunto cerrado de ${\mathcal C}_B$ (límite de una sucesión de subconjuntos convexos es convexo). Ahora, sostienen que un subconjunto cerrado de un espacio métrico compacto es compacto.