Es el Carathéodory mensurabilidad criterio óptimo en algún sentido?

Question

Si $m$ es una medida exterior definida en un conjunto a $X$, decimos que un subconjunto $E$ $X$ es Carathéodory medible con respecto a $m$ si para todos los subconjuntos de a$A$$X$,$m(A)=m(A\cap E) + m(A\cap E^c)$. Y si $M$ es el conjunto de todos los Carathéodory-conjuntos medibles con respecto a $m$, $M$ es una completa sigma álgebra en $X$ y $m$ restringido a $M$ es una medida completa en $X$.

Mi pregunta es, es $M$ "óptima" de alguna manera? Es la más grande o más pequeño subconjunto de $P(X)$ tal que $m$ restringido a un subconjunto es una medida? Es la más grande o más pequeño subconjunto de $P(X)$ tal que $m$ restringido a un subconjunto es una medida completa?

Para decirlo de otra manera, ¿qué es lo que hace que el Carathéodory mensurabilidad criterio de la "mejor" criterio de medición? O no es la mejor, pero sólo una elección arbitraria de un mar de infinitas igual de bueno más fuertes y más débiles de la mensurabilidad de los criterios?

Answer 1

La respuesta es no, la medida de Lebesgue puede ser extendida a una traducción invariante de la medida en un $\sigma$-álgebra que contener adecuadamente el Lebesgue sigma álgebra. Sin embargo, este ejemplo no es trivial. De hecho es el contenido de un artículo de los Anales de las Matemáticas.

Ver: https://www.jstor.org/stable/1969435

Answer 2

Edit: Sí, la Caratheodory condición define el mayor $\sigma$-álgebra $\sum$ de manera tal que la restricción de $m$ $\sum$es una medida que también tenemos $$m(A)=\inf_{A\subset E\in\sum}m(E)$$for all $Un\subconjunto X$. Que sigue de esto:

La motivación para el C de la definición de la mensurabilidad: Supongamos $(X,\sum,\mu)$ es una medida de espacio. Definir el exterior de la medida de $A\subset X$$\mu^*(A)=\inf_{A\subset E\in\sum}\mu(E)$. Si $A\subset X$$E\in\sum$$\mu^*(A)=\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\setminus E)$.

Prueba. Supongamos $A\subset X$$E\in\sum$. Elija $F$$A\subset F\in\sum$. Desde $\mu$ es una medida, $A\cap E\subset F\cap E\in\sum$ $A\setminus E\subset F\setminus E\in\sum$ hemos $$\mu(F)=\mu(F\cap E)+\mu(F\setminus E)\ge\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\setminus E).$$Taking the inf over $F$ shows that $$\mu^*(A)\ge\mu^*(A\cap E)+\mu^*(A\setminus E).$$

La otra desigualdad es clara, ya que es fácil ver que $\mu^*$ es subadditive: $\mu^*(B\cup C)\le\mu^*(B)+\mu^*(C)$ por cada $B$$C$. (Si $B\subset E_a\in\sum$ $C\subset E_2\in\sum$ $$\mu^*(B\cup C)\le\mu(E_a\cup E_2)\le\mu(E_1)+\mu(E_2);$$now take the inf over $ E_1$ and $E_2$ en el lado derecho.)

Answer 3

Creo que mi respuesta afirmativa a la respuesta a la pregunta aquí

Derivar Exterior Medida de $\sigma$-Álgebra

en particular, debería responder a su pregunta. El punto es que el "Carathéodory medible" condición es univeral.