Lo elemental de fila operación que sucedió aquí?

Question

En este trabajo se inicio una prueba afirmando lo siguiente:

Por elemental de fila de las operaciones, $$ \left | \begin{array}{cc} A^TA & A^Tx \\ x^TA & x^Tx \end{array} \right | = \left | \begin{array}{cc} A^TA & \vdots \\ 0 & x^Tx - x^TA(A^TA)^{-1}A^Tx \end{array} \right | $$

Operaciones elementales con sus filas, ya que ellos me enseñaron, están limitadas a la fila de conmutación, la adición y la multiplicación. ¿Qué es esto de la brujería?

Answer 1

Me lo imaginé como me hizo la pregunta.

Uno puede encadenar varias operaciones elementales si uno es cuidadoso. Dicen que aplicar varias operaciones para modificar la última fila de una matriz de $A$ como sigue \begin{align} a_n \leftarrow a_n & - \alpha_1 a_1 \\ a_n \leftarrow a_n & - \alpha_2 a_2 \\ \vdots \\ a_n \leftarrow a_n & - \alpha_k a_k \end{align} para algunos $k < n$. Esto es equivalente a $$ a_n \leftarrow a_n - \sum_i\alpha_i a_i $$ Esto significa que la adición de a $a_n$ una combinación lineal de las filas de $A$ es un elemental de fila de la operación.

Ahora, anteriormente hemos transformado la última fila de la matriz como $$ \left ( x^TA ~~~~ x^Tx \right ) \leftarrow \left ( x^TA ~~~~ x^Tx \right ) - x^TA(A^TA)^{-1}A^T (~~~~ x) $$ y $$ x^TA(A^TA)^{-1}A^T (~~~~ x) $$ es una combinación lineal de las que preceden a las filas de la matriz con los coeficientes de $$ x^TA(A^TA)^{-1} $$