Maximizar el tiempo cerca de un agujero negro

Question

Acabo de enterarme de la Schwarzchild solución, después de Carrol del libro. Ahora, hay una pregunta que quiero responder:

Considere la posibilidad de un observador que se inicia en el infinito con algunos de velocidad, viene a cerrar el agujero negro (siempre en caída libre) y, a continuación, se va a infinito. Mirando Carrol del libro, es fácil ver que el más cercano que el observador puede llegar al agujero negro es $3GM$ (en realidad, no $3GM$ sí: el valor mínimo de las $r$ $3GM$ en el límite donde el momento angular $L$$\infty$).

Ahora, quiero averiguar cómo controlar la cantidad de tiempo que el observador está "cerca del agujero negro". Por ejemplo: ¿cómo puede maximizar el tiempo que pasa en el $r<4GM$?
Un primer ingenuo respuesta sería: "Acaba de empezar con el mayor $L$ posible", pero sólo porque usted ir más cerca del agujero negro no significa que usted pasa más tiempo en su barrio: también se le puede viajar más rápido.

Nota: a partir de Carrol del libro, la ecuación diferencial para $r$ es

$$ \frac{1}{2} (\frac{dr}{d\lambda})^2 + V(r) = \mathcal{E} $$

Answer 1

Un observador puede pasar un tiempo infinito en $r=4GM$ si se cae desde el infinito con un preciso momento angular $\ell = \pm 4GM$. (Unidades de $c=1$).

Considere la posibilidad de iniciar un observador desde el infinito tal que 1) ha infinitesimal de velocidad 2) tiene una cantidad finita $\ell$ del momento angular. Pretendemos que podemos elegir $\ell$, de modo que el observador que cae en la órbita circular.

De $$V_{eff}(r) = - \frac{GM}{r} + \frac{\ell^2}{2r^2}- \frac{GM\ell^2}{r^3}$$

y la ecuación de la energía que usted ha mencionado

$$\frac12 \left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2+ V_{eff}(r) = \mathcal{E}= \mbox{const}$$

vemos que $\mathcal{E} = 0$ debido a que, inicialmente, comenzamos en espacial el infinito con infinitesimal de la velocidad radial.

Una órbita circular en el radius $r_c$ tendrá

$$V'_{eff}(r_c)=0$$ $$\left.\frac{dr}{d\tau}\right|_{r_c} = 0$$ y la última ecuación junto con la ecuación de la energía nos dice $$V_{eff}(r_c) = 0.$$ El par de ecuaciones es $$\frac{3 G \ell^2 M}{r^4}+\frac{G M}{r^2}-\frac{\ell^2}{r^3}=0$$ $$-\frac{G \ell^2 M}{r^3}-\frac{G M}{r}+\frac{\ell^2}{2 r^2}=0$$

lo que equivale a resolver un par de cuadráticas. Se puede comprobar que las únicas soluciones son

$$\ell = \pm 4GM,\quad r=4GM.$$

No sólo es posible, $r=4GM$ es la única posible órbita con las condiciones iniciales que hemos especificado. Ahora, tal vez usted puede generalizar a cierta cantidad finita de inicial de la velocidad radial a ver si de una más cerca de la órbita es posible.

Answer 2

La generalización de la respuesta por Dwagg: Para cualquier radio $3M<r\leq4M$ (el uso de unidades con $G=c=1$), hay una órbita que viene desde el infinito una asíntotas a una órbita circular. Estas órbitas son conocidos como homoclinic órbitas. Estas órbitas tienen la misma energía y del momento angular como el (inestable) de la órbita circular que asíntota, que puede ser encontrado mediante la resolución de las ecuaciones $$V'_{eff}(r)=0$$ y $$V_{eff}(r)=\mathcal{E}.$$

Esto le da $$ \mathcal{E} = \frac{(r-2M)}{\sqrt{r(r-3M)}}$$ y $$ \ell = \pm\frac{Mr}{\sqrt{M(r-3M)}}.$$

Estas órbitas gastar una cantidad infinita de tiempo por debajo de la $r=4M$. Si, como se especifica, usted quiere una órbita que descienda por debajo del $r=4M$ y vuelve a infinito, entonces usted puede tomar la energía como en la fórmula, y un momento angular que es un poco más alto. Como deja que el momento angular en el enfoque de la homoclinic valor límite, el tiempo dedicado por debajo de $r=4M$ enfoque infinito.