Encontrar que el límite es de $0$

Question

Tengo que demostrar que el siguiente límite es $0$:

\begin{equation} \lim_{(x,y)\to (0,0)}\frac{\lvert x\rvert^2y^2}{x^2+y^4}=0. \end{equation}

Esta es una parte de un ejercicio en el que tengo para el estudio de la la diferenciabilidad de esta función. Tengo que hacerlo por demostrar que:

\begin{equation} \Big \lvert\frac{\lvert x\rvert^2y^2}{x^2+y^4} \Big\rvert \leq \Big\lvert \cdots \Big\lvert \leq \cdots \leq\ \text{something that clearly goes to 0} . \end{equation}

Me puedes dar alguna idea? He estado pensando durante horas y probado casi todo pero no puedo ver cómo resolverlo.

Gracias!

Answer 1

Utilice el hecho de que $x^2+y^4 > 2|x|y^2$$(x,y) \neq (0,0)$.

A continuación, $$\frac{\lvert x\rvert^2y^2}{x^2+y^4} \le \frac{\lvert x\rvert^2y^2}{2\lvert x\rvert y^2}=\frac{\lvert x\rvert}{2} \to 0$$

como $x \to 0$.

Answer 2

Sugerencia: $\dfrac{x^2}{x^2+y^4} \leq 1 \Rightarrow \dfrac{x^2y^2}{x^2+y^4} \leq y^2$