Deje $X$ $Y$ ser esquemas y $x$ a un punto en $X$. Deje $f:X\rightarrow Y$ ser una de morfismos. Recordar esto induce un mapa de $f_x:\mathcal O_{Y,f(x)}\rightarrow \mathcal O_{X,x}$ sobre el nivel de las poleas.
Considere la posibilidad de la proyección de $g:X\times_Y \operatorname{Spec}\mathcal O_{Y,y}\rightarrow\operatorname{Spec} \mathcal O_{Y,y}$. Deje $x'$ ser la inversa de a $x$ bajo $X\times_Y \operatorname{Spec}\mathcal O_{Y,y}\rightarrow X$. ¿Por qué tenemos $f_x=g_{x'}$?
Esto se afirma sin justificación Liu libro, pero estoy teniendo problemas para ver por qué es cierto. Yo creo que se puede reducir al caso en que $X$ $Y$ son afines. El asociado anillo mapa parece ser, si $Y=\operatorname{Spec} A$$X=\operatorname{Spec} B$,
$$ A_{\mathfrak p} \rightarrow A_{\mathfrak p} \otimes_A B \cong (A\backslash \mathfrak p)^{-1}B,$$
si consideramos, $B$ $A$- módulo a través del mapa de $\phi: A\rightarrow B$ asociado a la mapa global de secciones inducidas por $f$. Sé que el tallo mapa de $X\rightarrow Y$ corresponde a
$$A_{\mathfrak p} \rightarrow B_{\phi^{-1}(\mathfrak p)}.$$
Así que la pregunta ahora parece reducir la verificación de que $B\backslash \phi^{-1} (\mathfrak p)$$\phi^{-1}(A\backslash \mathfrak p)$. Y ellos igual.
Pero el primer mapa que me dio es un mapa de los anillos, mientras que el segundo es un mapa de los tallos. Así que, ¿por qué parecen ser el mismo? Yo tampoco sé lo $x'$ está en el producto tensor o cómo asegurarse de que se envía a la cosa en $\operatorname{Spec} \mathcal O_{Y,y}$. Les agradecería mucho cualquier aclaración.
(Mis disculpas por otro elemental pregunta acerca de los productos de fibra. Estoy teniendo un absolutamente terrible tiempo de aprender acerca de ellos.)
Adenda. La prueba del siguiente teorema comienza, "Por el cambio de base $\operatorname{Spec} \mathcal O_{Y,y}\rightarrow Y$, que conserva el local de los anillos en la desigualdad, se le puede reducir a $Y=\operatorname{Spec} A$ donde $A$ es un Noetherian anillo local y $y$ es el punto de cierre de $Y$." Sospecho que esto tiene algo que ver con mi pregunta anterior. Agradecería cualquier explicación, especialmente de la "conserva el local de los anillos".
Deje $f:X\rightarrow Y$ ser una de morfismos de local Noetherian esquemas. Deje $x\in X$$y=f(x)$. Entonces
$$\dim \mathcal O_{X_y,x} \ge \dim \mathcal O_{X,x} - \dim \mathcal > O_{Y,y}.$$
Si $f$ es plana, entonces tenemos la igualdad.
