¿Derivado de $x^{x^{\cdot^{\cdot}}}$?

Question

Tetration infinito se define como %#% $ #%

Esta función se define para $$f(x)=x^{x^{\cdot^{\cdot}}}$.

(Imagen de Wikipedia)

¿Uno puede determinar la derivada de esta función?

Answer 1

Dejando $h(x)$ ser su poder infinito de la torre, se puede resolver la ecuación funcional $h(x)=x^{h(x)}$ en términos de la función de Lambert $W(x)$, la función inversa de la $x\exp\,x$. Más específicamente, hemos

$$h(x)=\exp(-W(-\log\,x))$$

Entonces se puede aplicar la regla de la cadena como de costumbre. La fórmula

$$W^\prime(x)=\frac{\exp(-W(x))}{1+W(x)}$$

es fácilmente derivada implícita a través de la diferenciación de la relación $W(x)\exp(W(x))=x$.

Por lo tanto, tienen

$$h^\prime(x)=\frac{\exp(-2 W(-\log\,x))}{x (1+W(-\log\,x))}=\frac{h(x)^2}{x(1-h(x)\log\,x)}$$

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Como lhf dice, la funcional de la ecuación de $h(x)$ pueden ser diferenciados de forma implícita, sin necesidad de tomar el Lambert ruta:

$$\begin{align*} h^\prime(x)&=\frac{\mathrm d}{\mathrm dx}x^{h(x)}\\ h^\prime(x)&=x^{h(x)}\left(\frac{h(x)}{x}+h^\prime(x)\log\,x\right)\\ h^\prime(x)&=\frac{h(x)^2}{x}+h(x)h^\prime(x)\log\,x\\ h^\prime(x)-h(x)h^\prime(x)\log\,x&=\frac{h(x)^2}{x}\\ h^\prime(x)&=\frac{h(x)^2}{x(1-h(x)\log\,x)}\\ \end{align*}$$

Answer 2

su dado que $y=f(x)=x^{x^{x^{x^\cdots}}}$ puedo escribir esta función como,

$$y=x^{y}$$

Tomando el $log_e$ en ambos lados, tenemos,

$$\log y=y\log x$$

Ahora, diferenciar w.r.to $x$ en ambos lados,

$$\frac 1 y y'=\frac y x + y'\log x $$

$$ \left(\frac 1 y-\log x\right)y'=\frac y x$$ $$y'=\frac {y^2}{x(1-x\log x)}$$

$$f'(x)=\frac {x^{x^{x^{x^\cdots}}}}{x(1-x\log x)}$$