¿La Piedra-Čech compactification respeto subespacios?

Question

Es decir, es cierto que si $X$ $Y$ son espacios topológicos (asumir que están Tychonoff, si es necesario), con $X \subseteq Y$, $\beta X$ es homeomórficos a un subespacio de $\beta Y$? Si es así, ¿cómo demostrarlo? Si no, ¿qué sería un contra-ejemplo?

Mi profesor nos ha pedido que venga con preguntas para el examen en 4 días. He estado tratando de probar esto, pero hacer malabares con los diversos espacios y topologías está haciendo que me duela la cabeza, y yo estoy golpear tantos callejones sin salida que estoy empezando a pensar que no es verdad.

Gracias por la ayuda!

Answer 1

Una lógica de la pregunta aquí es: "¿qué hace la Piedra-Čech compactification respeto?" Una respuesta general es que el $\beta$ es de izquierda adjunto a la inclusión functor de compacto de Hausdorff espacios para espacios topológicos, y como un adjunto a la izquierda por lo tanto, conserva todos los colimits. En particular, se conserva distintos sindicatos y coequalizers (de ahí epimorphisms). Pero subespacios están relacionados con los límites en lugar de colimits (ya que están relacionados con la monomorphisms en lugar de epimorphisms) así que uno no debe esperar a la izquierda adjunto para preservarlos.

Answer 2

Si $X=\mathbb N$$Y=\mathbb N^*$, el punto de compactification de $\mathbb N$,$\beta Y\approx \mathbb N^*$, que es contable. Sin embargo, $\beta\mathbb N$ no es contable, por lo tanto no puede ser una inyección en $\beta\mathbb N^*$