¿Cuál es el significado de una función $f : \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$$\mathcal{C^k}$?

Question

¿Cuál es el significado de una función $f : \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$ $\mathcal{C^k}$ donde $k \in \mathbb{N}$? Necesito una explicación para el caso de $N \geq 2$.

Answer 1

Todas las derivadas parciales hasta el orden de $k$ existen y son continuas.

Answer 2

La función es $k$ veces diferenciable en todas partes en $\mathbb{R}^n$, e $D^kf$ es continua en a $\mathbb{R}^n$.