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Homotopy de mapas de $(D^n, S^{n-1}) \longrightarrow (X,A)$ relativo $S^{n-1}$

Supongamos que para un mapa de $f: (D^n, S^{n-1}) \to (X,A)$ (donde $(X,A)$ es arbitraria par de espacios), existe una homotopy $H: D^n \times I \to X$ con $H(\_,0)=f$, $H(s,t) \in A$ para $s \in S^{n-1}$ $t \in I$ $H(\_,1)=g$ donde $g: D^n \to A$.

¿Por qué siempre elegimos este homotopy relativa a $S^{n-1}$?

Yo era capaz de mostrar que $f \simeq h$ donde$h : D^n \to A$$f|_{S^{n-1}} = h|_{S^{n-1}}$, pero no con un homotopy relativa a $S^{n-1}$.

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user45874 Puntos 6

Voy a mostrar que whevener usted ha elegido un homotopy $H$, se puede construir un nuevo homotopy que es constante en $S^{n-1}$.

En primer lugar, podemos etiquetar los puntos en $D^n$$(r,\theta)$, el tratamiento de la $r$ como una función continua $D^n\rightarrow I$. Si $s\in I$$x=(r,\theta)\in D^n$, podemos interpretar que el producto $sx$$(sr,\theta)$. También definimos la retracción $p:D^n\setminus 0\rightarrow S^{n-1}$ como el envío de $(r,\theta)$$(1,\theta)$.

Ahora definir el homotopy $H_1:D^n\times I \rightarrow X$

$H_1(x,t) = H(\frac{2}{2-t}x,t)$ si $r\leq 1-t/2$

y

$H_1(x,t) = H(p(x),2-2r)$ si $r\geq 1-t/2$

Observe que estas de acuerdo al $r=1-t/2$, por lo que podemos unirlos. Observe que $H_1(x,0)=f$, $H_1(x,1)\in A$ para todos los $x\in D^n$ $H_1$ es constante en $S^{n-1}$.

Existe una homotopy entre el $H$ $H_1$ en relación al $D^n\times\{0\}$, es decir, la fijación de $f$, pero soy incapaz de escribir ahora.

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Tsundoku Puntos 1953

La pregunta debe ser visto como un caso especial de la siguiente resultado, que es 7.4.4 de la Topología y de la Groupoids.

7.4.4 Deje $ \mathbf f: (X,A) \to (Y,B)$ ser un mapa de los pares que $\mathbf f$ es deformable en a $B$. Asuma que la inclusión de $A$ $X$ es un cofibration. A continuación, $\mathbf f$ es deformable en $B$ rel $A$.

Una manera de probar esto es dado como Ejercicio 5 en que sección de la siguiente manera: Vamos a $R_t: X \times I \to X \times I$ ser una retracción homotopy de $X \times I$ a $W= X \times 1 \cup A \times I$ tal que $$R_0= id, \; R_1(X \times I) \subseteq W$$ and $R_t$ is a homotopy rel $W$. Let $F_t:(X,A) \a (Y,B)$ be a homotopy deforming $F_0 = \mathbf f$ into $B$. Prove that the homotopy $(x,t) \mapsto FR_t(x,0)$ deforms $F_0$ into $B$ rel $$.

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