Alguien puede explicar de forma intuitiva cómo, para Galileo universo, $A^4$ es equivalente a $\Bbb{R} \times \Bbb{R}^3$?

Question

Estoy leyendo Arnold, el libro de la mecánica clásica. Obviamente, de todos los que estudia la física básica se siente cómodo con $\Bbb{R} \times \Bbb{R}^3$. Esto es sólo un par de $(t,\mathbf{x})$. Hay tres acciones básicas que uno puede tomar.

1. Movimiento uniforme con velocidad: $g_1(t,\mathbf{x}) = (t, \mathbf{x} + \mathbf{v}t)$
2. Traducciones: $g_2(t,\mathbf{x}) = (t+s, \mathbf{x} + \mathbf{s})$
3. Rotaciones: $g_3(t,\mathbf{x}) = (t,G\mathbf{x})$

Sin embargo, Arnold habla acerca de la definición de Galileo espacio utilizando un espacio afín $A^4$ y nada viene a la mente que conecta el espacio afín definición de Galileo espacio para la intuitiva he dicho anteriormente.

Mi Pregunta

Alguien puede proporcionar una interfaz intuitiva explicación de por qué la definición de Galileo espacio como un espacio afín nos permitiría definir el mismo tipo de acciones como el anterior? ¿En qué son estos dos equivalentes?

Answer 1

El espacio-tiempo de Galileo es de hecho el espacio afín $\mathbb{A}^4$. Afín espacio puede ser considerado como un "espacio sin origen", lo que hace que intuitivamente tiene sentido, porque ¿por qué habría de cierto punto (el origen) a ser especial. Por ejemplo trivial de Galileo, el espacio es $\mathbb{E}\times \mathbb{E}^3$ donde $\mathbb{E}$ es el espacio Euclidiano.

El $\mathbb{R}\times \mathbb{R}^3$ se conoce como espacio de coordenadas de Galileo. Ahora definir un afín mapa que conserva el espacio-tiempo de Galileo estructura como $$\varphi:\mathbb{A}^4\to\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3,\; A_t\mapsto(t(A_t),\mathbf{r}(A_t)),$$ donde $A_t$ es un punto de eventos simultáneos en Galileo espacio. Esto se llama Galileo gráfico. Con esto se puede identificar el espacio-tiempo de Galileo con el espacio de coordenadas $\mathbb{R}\times \mathbb{R}^3$. Intuitivamente se puede adjuntar en el sistema de coordenadas del espacio afín $\mathbb{A}^4$ con este mapa.

Así que usted tiene este resumen afín espacio y adjuntar un sistema de coordenadas a lo que la convierte en un espacio de coordenadas $\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3$. Ahora todas las acciones que se describen pueden ser implementadas en el elegido espacio de coordenadas.

Editar:

El $g$'s forman lo que se llama el Galileo grupo. Esta es una asignación $$g:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3\mapsto\mathbb{R}\times\mathbb{R}^3,(t,\mathbf{x})\mapsto(t+s,\mathbf{Gx}+\mathbf{v}t+\mathbf{s}).$$ Also it can be shown that all Galilei charts are of the form $\varphi^:=g\circ\varphi$ So the $g$'s corresponden a cambios de coordenadas en el espacio de coordenadas.