Separación en límites directos de inclusiones cerradas

Question

Supongamos que $X$ es un espacio y $A_1\subseteq A_2\subseteq A_3\subseteq ...\subset X$ es una secuencia de subespacios cada uno de los cuales es cerrado en $X$ y tal que $X\cong \varinjlim_{n}A_n$ (es decir $U$ está abierto en $X$ si y sólo si $U\cap A_n$ está abierto en $A_n$ para cada $n$ ). Esta topología en $X$ tiene muchos nombres (límite directo, límite inductivo, topología débil, tal vez más) pero parece que no puedo encontrar mucho que trate de las propiedades de separación en este entorno general. Específicamente, estoy preguntando:

Si $A_n$ es Hausdorff para cada $n$ entonces debe $X$ ¿también es Hausdorff?

Answer 1

La respuesta es no. H. Herrlich demostró, en 1969, que incluso si se considera cada $A_n$ un espacio completamente regular, el límite directo puede no ser Hausdorff. Sin embargo, si todos los $A_n$ son T $_4$ - espacios entonces $X$ es un T $_4$ - espacio (no es difícil demostrarlo).

Un comentario sobre la definición de límite directo. Normalmente, en la teoría de categorías, llamamos límite directo un colímite de una familia dirigida de objetos. Usando esta terminología es bien sabido que la categoría de espacios de Hausdorff no está cerrada bajo límites directos. Puedes encontrar algunos ejemplos en 'Topología' de Dugundji (lástima que esté descatalogado). La definición que utilizas es muy particular, por lo que el ejemplo de Herrlich es especial.

En este D. Hajek y G. Strecker exponen condiciones suficientes para que la propiedad Hausdorff se conserve bajo límites directos.