Dummit y Foote problema 11 en la sección 7.4

Question

Estoy tratando de resolver el problema 11 en Dummit y Foote la sección 7.4. El problema es el siguiente:

Suponga $R$ es conmutativa. Deje $I$ $J$ ser ideales de $R$ y asumen $P$ es un primer ideal de $R$ que contiene $IJ$. Ser $I$ o $J$ está contenido en $P$.

Se me ocurrió la siguiente prueba y sólo quiero comprobar si es correcto. Es como sigue:

Sabemos $IJ \subset P$. Entonces, si tenemos en cuenta $i \in I$$j \in J$. Entonces, sabemos $ij \in IJ \subset P$. Por primalidad de $P$ y desde $ij \in P$, sabemos que cualquiera de las $i \in P$ o $j \in P$. Por lo tanto, debemos tener la $I \subset P$ o $J \subset P$, como se desee.

Agradecería cualquier sugerencia o comentario sobre esta prueba. Gracias!

Answer 1

Bien, vamos a ver . . .

Sugerencia para una prueba:

Nos da que

$IJ \subset P; \tag 1$

supongamos entonces que

$I \not \subset P; \tag 2$

a continuación, debe haber alguna $i \in I$ tal que

$i \notin P; \tag 3$

ahora,

$iJ = \{ij \mid j \in J\} \subset IJ, \tag 4$

y así

$iJ \subset IJ \subset P; \tag 5$

este dice que

$\forall j \in J, \; ij \in P; \tag 6$

así que con

$i \notin P, \; \text{a prime ideal}, \tag 7$

debemos tener

$j \in P, \; \forall j \in J, \tag 8$

lo que muestra que

$J \subset P. \tag 9$

Comentarios sobre el OP de la prueba: parece bien a mí a través de la afirmación, "$i \in P$ o $j \in P$"; pero no se sigue que "$I \subset P$ o $J \subset P$", ya que tenemos que mostrar, por ejemplo, que $j \in P$ por cada $j \in J$, que es la razón por la que necesitamos, en mi prueba anterior, que $iJ \subset P$$i \notin I$.

Answer 2

Quiero más directamente señalar el problema en la prueba. Has demostrado ser la siguiente declaración: $$\forall i \in I\ \forall j \in J \ [i \in P \lor j \in P].$$ However, you need to prove the following statement: $$[(\forall i \in I\ i \in P) \lor (\forall j \in J\ j \in P)].$$ Can you see the difference? In words, your proof only shows that given some $ij \IJ$, you can determine that one of those two must be in $P$, but not which one. In particular, you have no reason to conclude that every $i$ should be in $P$, or that every $j$ should be in $P$, ya que necesita probar.

Robert Lewis le da una excelente respuesta para el correcto prueba, pero para completar mi cuenta, he aquí una sugerencia: Suponga que $IJ \subseteq P$, mientras que $I$ es no contenida en $P$. Esto te da $i \in I$ tal que $i \notin P$. ¿Qué podemos decir ahora, dada nuestra hipótesis?