El cierre de funciones diferenciables son las funciones continuas en el intervalo de $[0,1]$

Question

Deje $X=C([0,1])$ $||\cdot||_\infty$- norma. Mostrar que $\overline{C^1([0,1])}=X$.

Cada función derivable es continua. Por lo $C^1([0,1])\subset X$. Ahora tengo que mostrar a $D=\overline{C^1([0,1])}\subset X$. También tengo que mostrar: $X\subset D$. Para cada función continua que no es diferenciable en a $\overline{D}/\dot{D}$.

Cada función continua f en un intervalo compacto es limitada, por lo que $||f||_\infty<\infty$. $C^1([0,1])\subset X$, por lo $||f||_\infty<\infty \forall f\in C^1([0,1])$. Así que para las funciones g en el cierre de $C^1([0,1])$ tenemos $||g||_\infty<\infty$. ¿Cómo puedo demostrar que estas funciones g son también en X? Y ¿cómo puedo demostrar que cada continuo no-función derivable en a $\overline{D}/\dot{D}$? Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Stone–Weierstrass teorema dice que cualquier función continua $f$ $[0,1]$ se puede aproximar por un polinomio en el supremum de la norma. En particular, el polinomio es $C^{1}$.

Answer 2

Aquí es una forma directa de mostrar la densidad.

Pick $f \in C[0,1]$. Sin pérdida de generalidad podemos extender $f$ a $[-1,2]$ definiendo $f(t) = f(0)$ $t < 0$ $f(t) = f(1)$ $t >$1.

Deje $f_n(t) = n \int_{t-{1 \over n}}^{t+{1 \over n}} f(\tau) d \tau$. A continuación, $f_n$ es derivable con derivada $f_n'(t) = {f(t+{1 \over n})-f(t-{1 \over n}) \over {1 \over n}}$, y está claro que $f_n'$ es continua.

Supongamos $\epsilon>0$, entonces a partir de la $f$ es uniformemente continua hay algunos $\delta>0$ que si $|x-y| < \delta$ $|f(x)-f(y)| < \epsilon$. Ahora supongamos ${2 \over n} < \delta$, luego $|f(t)-f_n(t)| \le n \int_{t-{1 \over n}}^{t+{1 \over n}} |f(t)-f(\tau)| d \tau \le n \int_{t-{1 \over n}}^{t+{1 \over n}} \epsilon d \tau = \epsilon$, y así $\|f-f_n\|_\infty \le \epsilon$.