¿Por qué $\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}b]{x^a} = x^{a/b}$ ¿y qué significa?

Question

Empecé a preguntarme la expresión $\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}b]{x^a} = x^{a/b}$ que se introdujo en la escuela primaria/secundaria y no recuerdo que ningún profesor haya probado esta ecuación. ¿Qué significa la expresión $x^{a/b}$ ¿Realmente significa?

Puedo entender la otra interpretación $\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}b]{x^a} $ : Primera subida $x$ a la $a$ de la potencia y luego tomar la $b$ la raíz de la misma. Pero lo que hace $x^{a/b}$ ¿quieres decir? Por ejemplo $2^4$ está perfectamente claro para mí, pero lo que hace $2^{3/2} = 2^{1.5}$ ¿quieres decir? Para mí la expresión $x^y$ medios: Multiplicar $x$ , $y$ veces por sí mismo, así que multiplicando $2$ , $1.5$ los tiempos por sí mismos son un poco confusos :)

¿Incluso es generalmente siempre cierto que:

$$\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{2}b]{x^a} = x^{a/b},$$

si $x\in\mathbb{C}$ y $a,b\in\mathbb{R}$ ?

Y si es así, ¿por qué? ¿Es sólo una definición o un acuerdo de notación? ¿O existe una razón física/intuitiva real para ello?

Gracias por cualquier ayuda =)

Answer 1

En todo momento, $x$ será un parámetro restringido a valores reales mayores o iguales a $1$ . Cuando $y$ no es un número entero positivo, la definición de $x^y$ es más sutil que " $x$ multiplicado por sí mismo $y$ tiempos".

• Primero se define $x^{1/b}$ para un número entero positivo $b$ para ser la única solución positiva $w$ a la ecuación $w^b=x$ . La existencia de este $w$ es del teorema del valor intermedio, utilizando la continuidad de elevar un número al $b$ de la potencia. La notación $\sqrt[b]x$ es sólo un sinónimo de $x^{1/b}$ .
• Entonces para cualquier número racional positivo $a/b$ se define $x^{a/b}$ para ser $(x^a)^{1/b}$ (de forma equivalente, $\sqrt[b]{x^a}$ ). En otras palabras, es la única solución positiva $w$ a $w^b = x^a$ .
• Finalmente, para cualquier número real positivo $y$ se define $x^y = \sup \{ x^{a/b} \colon \frac ab<y \}$ .

A partir de estas definiciones se pueden demostrar varias cosas: las reglas de los exponentes $x^{ab}=(x^a)^b$ y $x^{a+b}=x^ax^b$ El hecho de que $x^y$ es para los fijos $x$ una función continua creciente de $y$ y así sucesivamente.

Se puede extender a los exponentes negativos declarando $x^{-y} = 1/x^y$ y se puede extender a los números reales $0<\xi<1$ declarando $\xi^y = (1/\xi)^{-y}$ . De nuevo se comprueba que todos los resultados de los exponentes, y las diferentes formas de analizar una expresión como $\xi^{a-b}$ o $\xi^{-y}$ son coherentes.

Así que no es nada intuitivo, la verdad. Como prueba, observa que no podemos hacer nada de esto si la base es un número negativo - la expresión $(-2)^y$ sólo tiene sentido si $y$ es un número entero. (Al menos, hasta que se entra en los números complejos, cuando la historia se vuelve más loca todavía....)

Answer 2

El $b$ -th raíz $a=\sqrt[b]{x}$ se define como una solución positiva de la ecuación $x=a^b$ . Si se parte del hecho $(a^b)^c=a^{bc}$ que ya conoces para exponentes de números enteros, lo generalizas para que funcione con exponentes racionales e incluso reales. Podemos demostrar tu igualdad simplemente llevando tu ecuación a la $b$ - de la energía:

$$\sqrt[b]{x^a}=x^{a/b}$$ $$(\sqrt[b]{x^a})^b=(x^{a/b})^b$$ A la izquierda, la raíz se elimina porque introducimos la raíz exactamente como la inversa de $b$ -en la potencia. A la derecha, utiliza la regla del producto: $$x^a=x^{(a/b)b}=x^a$$

Sin embargo, hay un problema: la ecuación $x=a^b$ tiene más de una solución. Tiene $b$ soluciones para $a$ (es un polinomio de grado $b$ ). Para argumentos positivos, siempre tomamos la solución positiva, y todo está bien. Pero para argumentos negativos, o si quieres trabajar con números complejos, esto ya no funciona. Recuerda el valor absoluto:

$$|x|=\sqrt{x^2}$$

En este caso se ve que el negativo $x$ no respetan $\sqrt{x^2}=(x^2)^{1/2}\neq x$ . Las potencias enteras mayores que uno son irreversibles (por ejemplo, al elevar al cuadrado se acaba el menos y no se puede adivinar cuál era), mientras que las raíces tienen múltiples soluciones y hay que elegir una como solución estándar. Para las potencias reales, las cosas se ponen aún peor.

En resumen: para los números positivos, se puede suponer $\sqrt[n]{x}=x^{1/n}$ y $(x^a)^b=x^{ab}$ . En cualquier otro caso, ten mucho cuidado y evita usar raíces y potencias si puedes. En su lugar, trátalos como soluciones de polinomios: en ese caso, siempre serás consciente de que hay más de una solución.