Encuentra la derivada de la función $f(x)=x/(x^2+1)$ en el punto a.

Question

$$\frac{x}{x^2+1}$$ Tengo que encontrar la derivada y establecer un punto por mí mismo.
Entonces solo establezco $x=a$ (¿es correcto?)

y usando el límite,
$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{a+h}{(a+h)^2 + 1} - \frac{a}{a^2+1}}{h}$$

por lo tanto, la respuesta es $$\frac{ 1-a^2}{(a^2+1)^2}$$

¿es correcto?

Answer 1

la pregunta es,, encontrar funciones en un punto arbitrario.. sé que simplemente puedo usar esa regla, pero el problema es que tengo que usar un punto arbitrario

$x$ ya es arbitrario. No se vuelve más arbitrario al usar una letra diferente como nombre de variable. El punto entero de una función es asociar un elemento de un conjunto que proporcionas con otro elemento (posiblemente de un conjunto diferente).

Y $x$ es cualquier número de los números reales (probablemente, al menos, no especificaste de qué conjunto proviene $x) sin especificar cuál. No es $12$, no es $-245234234.4564576$, es cualquier elemento del conjunto que la función "acepta". Después de todo, esta es la razón por la que usamos letras para denotar alguna variable, porque no es un número distintivo.

Answer 2

Su respuesta es correcta.

Observe, $$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$$

$$\implies f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{x+h}{(x+h)^2+1}-\frac{x}{x^2+1}}{h}$$ $$=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)(x^2+1)-x((x+h)^2+1)}{h((x+h)^2+1)(x^2+1)}$$ $$=\lim_{h\to 0}\frac{x^3+hx^2+x+h-x^3-2hx^2-h^2x-x}{h((x+h)^2+1)(x^2+1)}$$ $$=\lim_{h\to 0}\frac{h-hx^2}{h((x+h)^2+1)(x^2+1)}$$ $$=\lim_{h\to 0}\frac{1-x^2}{((x+h)^2+1)(x^2+1)}$$$$=\frac{1-x^2}{((x+0)^2+1)(x^2+1)}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$$ Ahora, sustituyendo un valor arbitrario $x=a$ $$f'(a)=\frac{1-a^2}{(a^2+1)^2}$$

Answer 3

$$\ f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{x+h}{(x+h)^2+1}-\frac{x}{x^2+1}}{h}$$

$$=\lim_{h\to 0}\frac{1-x^2}{((x+h)^2+1)(x^2+1)}$$$$=\frac{1-x^2}{((x+0)^2+1)(x^2+1)}=\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$$

Según mi conocimiento, mi respuesta también es la misma que la de los demás. Supongo que puedes sustituir x=a. (no es tan importante)

Answer 4

$$ \lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{a+h}{(a+h)^2 + 1} - \frac{a}{a^2+1}}{h} = \underbrace{\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots}_{\text{y ?}} = \frac{ 1-a^2}{(a^2+1)^2} $$

En algunos contextos, saltar del límite a su valor sin explicar cómo se deriva es apropiado. Pero aquí, dado que dices que el problema es encontrar la derivada, normalmente se deberían incluir esos detalles. Primero algunas simplificaciones algebraicas de rutina, luego la cancelación crucial de la $h$, y luego sustituyendo $0$ por $h$ en una expresión que define una función continua.

Si debes hacerlo encontrando un límite o mediante algún otro método (en este caso, probablemente la regla del cociente) también depende del contexto, y no nos has informado al respecto.

Answer 5

$\implies f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\frac{x+h}{(x+h)^2+1}-\frac{x}{x^2+1}}{h}$

\= $ \lim_{h\to 0}\frac{\frac{x+h}{(x^2 + 1 + 2h +h^2}-\frac{x}{x^2+1}}{h}$

$f(x + h) - f(x) = \frac{x+h}{(x+h)^2+1}-\frac{x}{x^2+1} = \frac{(x+h)(x^2 -1)}{((x+h)^2+1)(x^2 + 1)}-\frac{x((x+h)^2+1)}{((x+h)^2+1)(x^2 + 1)}$

$= \frac{h(1-x^2 -hx)}{(x^2 + 1)^2 + (2h + h^2)(x+1) } $

so $f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{\frac{h(1-x^2 -hx)}{(x^2 + 1)^2 + (2h + h^2)(x+1) }}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{(1-x^2 -hx)}{(x^2 + 1)^2 + (2h + h^2)(x+1) } = \frac{1-x^2}{(x^2 + 1)^2}$

I don't know what "set a point" means unless it means try it for x = 0 or something. [In which case we'd get

$f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h)-f(0)}{h}= \lim_{h\to 0} \frac{\frac{h}{h^2 + 1} -0}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{1}{h^2 + 1} = 1$

]