¿Cómo sumar o multiplicar números decimales?

Question

La etiqueta de "cálculo" no aptos para esta pregunta, pero yo no podía pensar en otra cosa. Por favor, siéntase libre para cambiarlo.

Supongamos $a=0,a_{-1}a_{-2}a_{-3}\ldots$ $b=0,b_{-1}b_{-2}b_{-3}\ldots$ son dos números decimales. Para ser precisos, debería añadir "representación de" antes de "números decimales", pero no es de lo que la pregunta es acerca de.

¿Cómo puedo prácticamente agregar y multiplicar $a$$b$?

Si $a$ $b$ son racionales y por lo tanto periódico, usted pudiera contestar, se que debo convertir a fracciones $a={a'\over a''}$ $b={b'\over b''}$ y hacer lo que es obvio, pero no quiero hacer esto.

Comenzando con la adición, el problema es acerca de dígitos sumas más grandes, a continuación,$10$. Si $a=b=0,111\ldots$ no tiene problemas, la adición de ellos dígito por dígito desde la izquierda a $a+b=0,222\ldots$. Pero cuando tienes algo como $a=0,0888\ldots$ $0,0111\ldots$ no se puede escribir cualquier dígito de la suma hasta que usted sepa lo que viene a continuación, si se inicia desde la izquierda, ya que puede producirse una suma de dígitos $>10$$a=0,088890\ldots$$0,011110\ldots$, se puede? Lo que ocurre aquí exactamente, si $a$ $b$ son racionales? ¿Cómo funciona la duración del período de $a+b$ depende de la longitud de periodo de $a$$b$?

El problema se vuelve más complicado, si usted piensa de la multiplicación. Para "finito" números como $a=b=0,2=0,200\ldots$ usted acaba de escribir una tabla de multiplicación y de que (a pesar del hecho, que el $0,2=0,1999\ldots$, pero vamos a ignorar este). Pero ¿qué hay de arbitrario o los números racionales? Tengo la impresión, de que el largo periodo de tiempo puede ser mucho más grande en el producto. Hay un límite superior en función de la longitud de periodo de $a$$b$?

Como se define un número decimal como una cierta absolutamente convergente fila, se define la multiplicación por el producto de Cauchy, pero esto no ayuda cuando se desea hacer la multiplicación prácticamente. Hay un sencillo algoritmo?

Aquí es un hormigón reto: Multiplicar el $a=b=0,\overline{142857}$.

Answer 1

Los problemas que mencionas son, en un sentido estricto, insuperable. En general, no hay manera de calcular el primer $n$ dígitos decimales de $a+b$ desde el primer $m$ dígitos decimales de $a$$b$, sin embargo la gran $m$ puede ser con respecto a la $n$. Por ejemplo, si $a = 0.444444...$$b = 0.555555...$, $a+b$ pueden $0.999999...$ o $1.000000....$ dependiendo el primer dígito que se desvía del patrón; pero sin saber más acerca de $a$$b$, la primera desviarse dígitos podría estar en cualquier lugar.

Esa es la mala noticia. La buena noticia es que usted puede calcular el $a+b$ $a \times b$ a cualquier precisión requerida, si usted puede calcular el $a$ $b$ a cualquier precisión requerida. Pero usted tiene que utilizar otro sistema de representación; por ejemplo, las aproximaciones racionales.

En el caso especial de que se le dé, la representación decimal funciona bien, porque el resultado (1/49) es recurrente, no decimal finito. Así que usted puede calcular los sucesivos dígitos utilizando solo la alta escuela de la multiplicación.