Encuentra el mínimo$a+b$.

Question

Deje $x$ ser un número real tal que $\frac{(1+x)^3}{1+x^3} = \frac{9}{13}$. Si $\frac{(1+x)^5}{1+x^5} = \frac{a}{b}$ donde $a, b$ son enteros positivos. ¿Cuál es el valor mínimo de $a+b$.

Mi intento de trabajo :

$\frac{(1+x^3)(1+x)^2}{(1+x)^5} = \frac{13}{9}$

$\frac{x^5+2x^4+x^3+x^2+2x+1}{(1+x)^5} = \frac{13}{9}$ ---[1]

Desde $13(1+x)^3 = 9(1+x^3)$

$13x^3+39x^2+39x+13 = 9+9x^3$

$4x^3+39x^2+39x+4 = 0$ ---[2]

$(x+1)(4x^2+35x+4) = 0$

$(4x^2+35x+4) = 0$

$(x+1)^2 = -\frac{27}{4}x$

por lo $x = -\frac{4}{27}(x+1)^2$

[2] : multiplicado por $x$, tenemos

$4x^4+2x^3+2x^2+4x = -37x^3 -37x^2$ ---[3]

[2] : $4x^3+4 = -39x^2-39x$

multiplicado por $\frac{37}{39}x$, tenemos

$\frac{148}{39}x^4 + \frac{148}{39}x = -37x^3 -37x^2$ ---[4]

[3]=[4] : $4x^4+2x^3+2x^2+4x = \frac{148}{39}x^4 + \frac{148}{39}x = \frac{148}{39}x(x^3+1) = \frac{148}{39}x\left(\frac{13}{9}(1+x)^3\right) = \frac{148}{39}\left(-\frac{4}{27}(x+1)^2\right)\left(\frac{13}{9}(1+x)^3\right) = -\frac{148\cdot4\cdot13}{39\cdot27\cdot9}(x+1)^5 $

así $\frac{2x^4+x^3+x^2+2x}{(x+1)^5} = -\frac{148\cdot2\cdot13}{39\cdot27\cdot9}$ ---[5]

[1]-[5] : tenemos $\frac{1+x^5}{(1+x)^5} = \frac{13}{9} + \frac{148\cdot2\cdot13}{39\cdot27\cdot9}$

$\frac{(1+x)^5}{1+x^5} = \frac{729}{1349} = \frac{a}{b}$

$a+b = 729+1349= 2078$

Hace un valor mínimo en este problema significa mcd del numerador y el denominador es igual a 1 ?

Es mi respuesta correcta ?

Hay una manera más fácil encontrar la respuesta, por favor, sugiera ?

Gracias.

Answer 1

Tu respuesta es correcta.

¿Hay alguna forma más fácil de encontrar la respuesta?

¿Qué tal la siguiente manera?

Ya tienes$$4x^2+35x+4=0$ $ de donde obtenemos$$x+\frac 1x=\frac{-35}{4}\tag1$ $

Ahora dividiendo la parte superior e inferior de$$\frac{(1+x)^5}{1+x^5}$ $ por$1+x$ da$$\frac{x^4+4x^3+6x^2+4x+1}{x^4-x^3+x^2-x+1}$ $ Dividir la parte superior e inferior por$x^2$ da$$\frac{x^2+\frac{1}{x^2}+4(x+\frac 1x)+6}{x^2+\frac{1}{x^2}-(x+\frac 1x)+1}$ $ para tener$$\frac{\left(x+\frac 1x\right)^2-2+4(x+\frac 1x)+6}{\left(x+\frac 1x\right)^2-2-(x+\frac 1x)+1}$ $ Sustituir$(1)$ en esto da$$\frac{(1+x)^5}{1+x^5}=\frac{\left(\frac{-35}{4}\right)^2-2+4(\frac{-35}{4})+6}{\left(\frac{-35}{4}\right)^2-2-(\frac{-35}{4})+1}=\frac{729}{1349}$ $

Answer 2

EDIT: En resumen: sí, tu respuesta es correcta (puedes ignorar todo lo demás aquí:)

$\frac{(1+x)^3}{1+x^3} = \frac{9}{13}$ implica $8 x = -35 \pm 3 \sqrt{129}$ a partir de la cual se puede calcular el $\frac{(1+x)^5}{1+x^5} = 729/1349$. Tan sólo hay una posible coprime par $a,b$, haciendo que el minimality de $a+b$ una condición vacío.

(Nota: puede parecer en un primer momento que se obtiene una ecuación cúbica para $x$ pero eso no es cierto, ya que los dos $x^3$ términos se cancelan uno al otro. Así que todo lo que tienes que hacer para encontrar $x$ es para resolver una ecuación cuadrática. Usted encontró esta ecuación, en la que el punto de todo lo que quedaba por hacer es (a) resolver, y (b) sustituir el resultado en $(1+x)^5/(1+x^5)$ que no es agradable, pero no mucho tampoco).

PS. La manera más rápida de evaluar $(1+x)^5$ o $1+x^5$ $x = $raíz de una ecuación cuadrática $Q(x)$ es dividir los polinomios por $Q(x)$ con la división larga y tomar el resto.