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Encuentra el mínimoa+b.

Deje x ser un número real tal que (1+x)31+x3=913. Si (1+x)51+x5=ab donde a,b son enteros positivos. ¿Cuál es el valor mínimo de a+b.

Mi intento de trabajo :

(1+x3)(1+x)2(1+x)5=139

x5+2x4+x3+x2+2x+1(1+x)5=139 ---[1]

Desde 13(1+x)3=9(1+x3)

13x3+39x2+39x+13=9+9x3

4x3+39x2+39x+4=0 ---[2]

(x+1)(4x2+35x+4)=0

(4x2+35x+4)=0

(x+1)2=274x

por lo x=427(x+1)2

[2] : multiplicado por x, tenemos

4x4+2x3+2x2+4x=37x337x2 ---[3]

[2] : 4x3+4=39x239x

multiplicado por 3739x, tenemos

14839x4+14839x=37x337x2 ---[4]

[3]=[4] : 4x4+2x3+2x2+4x=14839x4+14839x=14839x(x3+1)=14839x(139(1+x)3)=14839(427(x+1)2)(139(1+x)3)=14841339279(x+1)5

así 2x4+x3+x2+2x(x+1)5=14821339279 ---[5]

[1]-[5] : tenemos 1+x5(1+x)5=139+14821339279

(1+x)51+x5=7291349=ab

a+b=729+1349=2078

Hace un valor mínimo en este problema significa mcd del numerador y el denominador es igual a 1 ?

Es mi respuesta correcta ?

Hay una manera más fácil encontrar la respuesta, por favor, sugiera ?

Gracias.

3voto

mathlove Puntos 57124

Tu respuesta es correcta.

¿Hay alguna forma más fácil de encontrar la respuesta?

¿Qué tal la siguiente manera?

Ya tienes4x2+35x+4=0$$dedondeobtenemosx+\frac 1x=\frac{-35}{4}\tag1

Ahora dividiendo la parte superior e inferior de(1+x)51+x5$$por$1+x$da\frac{x^4+4x^3+6x^2+4x+1}{x^4-x^3+x^2-x+1} Dividir la parte superior e inferior porx2 dax2+1x2+4(x+1x)+6x2+1x2(x+1x)+1$$paratener\frac{\left(x+\frac 1x\right)^2-2+4(x+\frac 1x)+6}{\left(x+\frac 1x\right)^2-2-(x+\frac 1x)+1} Sustituir(1) en esto da$$\frac{(1+x)^5}{1+x^5}=\frac{\left(\frac{-35}{4}\right)^2-2+4(\frac{-35}{4})+6}{\left(\frac{-35}{4}\right)^2-2-(\frac{-35}{4})+1}=\frac{729}{1349}

2voto

Mark Puntos 19

EDIT: En resumen: sí, tu respuesta es correcta (puedes ignorar todo lo demás aquí:)

(1+x)31+x3=913 implica 8x=35±3129 a partir de la cual se puede calcular el (1+x)51+x5=729/1349. Tan sólo hay una posible coprime par a,b, haciendo que el minimality de a+b una condición vacío.

(Nota: puede parecer en un primer momento que se obtiene una ecuación cúbica para x pero eso no es cierto, ya que los dos x3 términos se cancelan uno al otro. Así que todo lo que tienes que hacer para encontrar x es para resolver una ecuación cuadrática. Usted encontró esta ecuación, en la que el punto de todo lo que quedaba por hacer es (a) resolver, y (b) sustituir el resultado en (1+x)5/(1+x5) que no es agradable, pero no mucho tampoco).

PS. La manera más rápida de evaluar (1+x)5 o 1+x5 x=raíz de una ecuación cuadrática Q(x) es dividir los polinomios por Q(x) con la división larga y tomar el resto.

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