Deje x ser un número real tal que (1+x)31+x3=913. Si (1+x)51+x5=ab donde a,b son enteros positivos. ¿Cuál es el valor mínimo de a+b.
Mi intento de trabajo :
(1+x3)(1+x)2(1+x)5=139
x5+2x4+x3+x2+2x+1(1+x)5=139 ---[1]
Desde 13(1+x)3=9(1+x3)
13x3+39x2+39x+13=9+9x3
4x3+39x2+39x+4=0 ---[2]
(x+1)(4x2+35x+4)=0
(4x2+35x+4)=0
(x+1)2=−274x
por lo x=−427(x+1)2
[2] : multiplicado por x, tenemos
4x4+2x3+2x2+4x=−37x3−37x2 ---[3]
[2] : 4x3+4=−39x2−39x
multiplicado por 3739x, tenemos
14839x4+14839x=−37x3−37x2 ---[4]
[3]=[4] : 4x4+2x3+2x2+4x=14839x4+14839x=14839x(x3+1)=14839x(139(1+x)3)=14839(−427(x+1)2)(139(1+x)3)=−148⋅4⋅1339⋅27⋅9(x+1)5
así 2x4+x3+x2+2x(x+1)5=−148⋅2⋅1339⋅27⋅9 ---[5]
[1]-[5] : tenemos 1+x5(1+x)5=139+148⋅2⋅1339⋅27⋅9
(1+x)51+x5=7291349=ab
a+b=729+1349=2078
Hace un valor mínimo en este problema significa mcd del numerador y el denominador es igual a 1 ?
Es mi respuesta correcta ?
Hay una manera más fácil encontrar la respuesta, por favor, sugiera ?
Gracias.