Encuentre todas las funciones continuas$f:[0,1]\rightarrow \mathbb{R}$ que satisfacen:$\int_0^1 f(x)dx=1/3 + \int_0^1 f^2(x^2)dx$

Question

(Tenga en cuenta que$f^2(x)=f(x)\cdot f(x)$ y no la composición.)

Ya que ambas integrales están definidas, la derivación está fuera de discusión. Intenté integrar la segunda integral por partes pero alcancé algo caótico, así que estoy más que seguro de que hay un problema con esto que no estoy captando. Cualquier sugerencia será apreciada.

Answer 1

La respuesta es $ f(x)=\sqrt{x}$. De hecho, para cada función continua$ f$ tenemos $$ \ eqalign {\ int_0 ^ 1 \ left (f (t) - \ sqrt {t} \ right) ^ 2 \, \ frac {1} {2 \ sqrt {t}} dt & = \ int_0 ^ 1f ^ 2 (t) \ frac {dt} {2 \ sqrt {t}} - \ int_0 ^ 1f (t) dt + \ frac12 \ int_0 ^ 1 \ sqrt {t} dt \ cr & = \ int_0 ^ 1f ^ 2 (x ^ 2) dx- \ int_0 ^ 1f (t) dt + \ frac13} $$ por lo que el supuesto es equivalente a $$ \ int_0 ^ 1 \ left (f (t) - \ sqrt {t} \ right) ^ 2 \, \ frac {1} {2 \ sqrt {t}} dt = 0 $$ Dado que el integrando es positivo y continuo en$(0,1]$, la respuesta anunciada es la siguiente.

Answer 2

Se puede resolver con el cálculo de variaciones. Vamos a definir un funcional:

$$I(f) = \int_0^1 f(x)-f(x^2)^2 \ dx.$$

Entonces:

$$I(f+h) = \int_0^1 f(x)-f(x^2)^2 + h(x)-h(x^2)^2 -2f(x^2)h(x^2) \ dx = I(f) + \int_0^1 h(x)-2f(x^2)h(x^2) \ dx + o(h),$$

así que, con un cambio de variables,

$$\delta I (f) (h) = \int_0^1 h(x)-2f(x^2)h(x^2) \ dx = \int_0^1 h(x) \left(1-\frac{f(x)}{\sqrt{x}}\right) \ dx.$$

Obviamente, $f(x) = \sqrt{x}$ es un punto crítico, y resulta que $I(\sqrt{x}) = 1/3$. A ver que es un máximo, es suficiente con mirar la segunda derivada, o simplemente para factorizar toda la qudratic forma $I$:

$$I(\sqrt{x}+h(x)) = \frac{1}{3} -\int_0^1 h(x^2)^2 \ dx,$$

de manera continua $f(x) = \sqrt{x}+h(x)$, $I(f) = 1/3$ si y sólo si $h = 0$, por lo que si y sólo si $f(x)=\sqrt{x}$.

Answer 3

Esto lo acabo de descubrir con un sencillo método de prueba-error :: Tomar$g(x)=x^2$ .Compruebe que$\int _0^1 g(x)dx =1/3$ para que UNA solución se pueda encontrar como ...

PS

Ahora, diferencie ambos lados wt$$\int _0^xf(y)\ dy=\int _0^xg(y)\ dy+\int _0^x(f(y^2))^2 dy$ y obtendrá$x$ $

Obviamente, esto no te dará el conjunto completo de soluciones, pero aún así, algo es mejor que nada ... :-)