La extensión de campo finito.

Question

Deje el campo $K$ incrustado en el campo finito $M$. Demostrar que $M = K(\theta)$ algunos $\theta \in M$.

He probado de las 2 maneras, pero se quedó atascado en ambos.

1) Vamos a $|K| = p^s$ $|M| = p^{st}$ primer $p$$s, t \in \mathbb N$. Y si queremos encontrar el polinomio irreducible $f(x) \in K[x]$ donde $deg f(x) = t$, e $f(x)$ tiene al menos una raíz en $M$ nos va a resolver el problema. Pero no puedo demostrar que no siempre es tal polinomio.

2) La segunda idea era representar a $K$ $M$ $L(\theta)$ donde $L = \{n \cdot 1: n = 0,1,\ldots,p-1\}$ donde $p$ es característico de los campos. Y si $K = L(\theta_1)$ $M = L(\theta_2)$ podemos decir que el $M = K(\theta_2)$. Pero no sé cómo demostrar que siempre nos puede representar un campo finito como $L(\theta)$ donde $L = \{n \cdot 1: n = 0,1,\ldots,p-1\}$, y además no sé es verdad o no.

Gracias por su ayuda!

Answer 1

Un enfoque fácil es apelar al siguiente teorema:

Si$F$ es cualquier campo y$G$ es un subgrupo finito de$F^\times$, entonces$G$ es cíclico.

Ya que$M$ es finito, podemos tomar$G=M^\times$, así que hay un$\theta\in M$ tal que cada elemento que no sea cero de$M$ es igual a$\theta^n$ para algunos $n$. Claramente, este$\theta$ tendrá la propiedad que$M=K(\theta)$.