Primero, toma A , B simétrico positivo-definido. Supongamos que λ es un valor propio de AB con el correspondiente eigenvector x≠0 es decir. ABx=λx Entonces BABx=λBx y así x′BABx=λx′Bx . No es difícil comprobar que BAB también será positivo definitivamente. Desde x≠0 , x′Bx≠0 Así que λ=x′BABxx′Bx . Por la definición positiva de B tenemos x′Bx>0 . Por la definición positiva de BAB tendremos x′BABx>0 . Así λ>0 es decir. AB tiene valores propios positivos.
Ahora deja que A>0 y B<0 . Aplique el resultado anterior a −(AB)=A(−B) . Desde −B>0 todos los valores propios de A(−B) será positivo. Pero los valores propios de A(−B) son las contrapartes negativas de los valores propios de AB . Así AB tendrá valores propios negativos.
Sin embargo, hay que tener en cuenta que AB no tiene por qué ser simétrica. La terminología "negativo-definido" se refiere a las matrices hermitianas (simétricas).