Producto de la matriz definida positiva y la matriz definida seminegativa

Question

Deje que $A$ una matriz spd (simétrica positiva definitiva) y $B$ una matriz definida seminegativa simétrica. Es tr $AB \leq 0$ y más general es $AB$ seminegativo definitivo?

Conozco ese tr $AB \leq 0$ sigue de $AB$ seminegativo definido desde los valores propios $ \lambda $ de $AB$ son no positivos y por lo tanto tr $AB= \sum_ { \lambda \in spec\ A} \lambda \leq 0$ . Pero no sé cómo averiguar algo sobre la definición de $AB$ . Creo que en general no hay nada que pueda decir sobre los valores propios de $AB$ .

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Primero, toma $A$ , $B$ simétrico positivo-definido. Supongamos que $ \lambda $ es un valor propio de $AB$ con el correspondiente eigenvector $x \neq 0$ es decir. $ABx= \lambda x$ Entonces $BABx= \lambda Bx$ y así $x' BAB x = \lambda x' B x$ . No es difícil comprobar que $BAB$ también será positivo definitivamente. Desde $x \neq 0$ , $x'Bx \neq 0$ Así que $ \lambda = \frac {x' BAB x}{x'Bx}$ . Por la definición positiva de $B$ tenemos $x' Bx >0$ . Por la definición positiva de $BAB$ tendremos $x' BAB x>0$ . Así $ \lambda >0$ es decir. $AB$ tiene valores propios positivos.

Ahora deja que $A>0$ y $B<0$ . Aplique el resultado anterior a $-(AB)=A(-B)$ . Desde $-B>0$ todos los valores propios de $A(-B)$ será positivo. Pero los valores propios de $A(-B)$ son las contrapartes negativas de los valores propios de $AB$ . Así $AB$ tendrá valores propios negativos.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que $AB$ no tiene por qué ser simétrica. La terminología "negativo-definido" se refiere a las matrices hermitianas (simétricas).