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Producto de la matriz definida positiva y la matriz definida seminegativa

Deje que A una matriz spd (simétrica positiva definitiva) y B una matriz definida seminegativa simétrica. Es tr AB0 y más general es AB seminegativo definitivo?

Conozco ese tr AB0 sigue de AB seminegativo definido desde los valores propios λ de AB son no positivos y por lo tanto tr AB=λspec Aλ0 . Pero no sé cómo averiguar algo sobre la definición de AB . Creo que en general no hay nada que pueda decir sobre los valores propios de AB .

¡Gracias de antemano!

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Navid Puntos 21

Primero, toma A , B simétrico positivo-definido. Supongamos que λ es un valor propio de AB con el correspondiente eigenvector x0 es decir. ABx=λx Entonces BABx=λBx y así xBABx=λxBx . No es difícil comprobar que BAB también será positivo definitivamente. Desde x0 , xBx0 Así que λ=xBABxxBx . Por la definición positiva de B tenemos xBx>0 . Por la definición positiva de BAB tendremos xBABx>0 . Así λ>0 es decir. AB tiene valores propios positivos.

Ahora deja que A>0 y B<0 . Aplique el resultado anterior a (AB)=A(B) . Desde B>0 todos los valores propios de A(B) será positivo. Pero los valores propios de A(B) son las contrapartes negativas de los valores propios de AB . Así AB tendrá valores propios negativos.

Sin embargo, hay que tener en cuenta que AB no tiene por qué ser simétrica. La terminología "negativo-definido" se refiere a las matrices hermitianas (simétricas).

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