El rectángulo más grande en un polígono de caja de escalera con n vértices

Question

Vamos a definir una caja de escalera polígono a ser un polígono como la siguiente.

Vamos a la parte inferior izquierda de la mayoría de los punto de ser el origen, todos los bordes son alineado al eje.

Uno puede ver si sacamos una caja de escalera de polígonos a partir de un rectángulo, tenemos otro caso de escalera polígono.

Deje $S_k$ algunos $k$ vértices de la caja de la escalera polígono. Deje $A(x)$ ser el área del polígono x. Deje $R_k$ ser el más grande alineado al eje rectángulo que está contenida en $S_k$

¿Qué podemos decir sobre el límite inferior de $\frac{A(R_k)}{A(S_k)}$?

Actualmente sé que $\frac{A(R_k)}{A(S_k)} \geq \frac{1}{(k-4)/2 + 1}$

Definir la máxima rectángulo, un rectángulo que no puede ser estirada en cualquier dirección sin tener que ir fuera del polígono. Sólo hay $(k-4)/2 + 1$ máxima rectángulos, la unión cubre todo el polígono. Entonces por lo menos uno tenga en el $\geq \frac{1}{(k-4)/2 + 1}$

Me pregunto ¿existe una mejor cota inferior? O podemos demostrar que es la mejor posible?

La motivación, que originalmente tenía una conjetura, que para cualquiera limitada continua, monótona decreciente convexa de la función definida en $[0,a]$$f(x)$. La máxima $xf(x)$ sobre el área en $f(x)$ es una constante. Resulta ser falsa, contraejemplo $f(x) = 1/x$. Así que ahora estoy haciendo esto por un discreto versión, la máxima $xf_k(x)$ sobre el área en $f_k(x)$ es una función de $k$ donde $f_k(x)$ es el valor promedio de $f(x)$ en cada una de las $k$ particiones de $[0,a]$.

Answer 1

Yo reclamo la estimación que tenemos es fuerte, pero no alcanzó.

Que no es alcanzado es clara, ya que la descomposición máxima de los polígonos que siempre tienen algún tipo de solapamiento.

Para demostrar que es fuerte, considere la siguiente construcción. Deje $k$ ser fijo. Deje $1 > \epsilon > 0$ ser un pequeño número positivo. Comience con la unidad cuadrada ($1\times 1$). Se añade la siguiente máxima polígonos, uno a la vez: $\epsilon^j \times \epsilon^{-j}$ por cada $0 < j < (k-4)/2 + 1$. Así que cada uno la máxima polígono tiene un área de 1.

Cada adicional máxima polígono añade un área de $\epsilon^j \times (\epsilon^{-j} - \epsilon^{-(j-1)}) = 1 - \epsilon$ (la cantidad que se sale de lo que ya está allí).

De modo que el área total $A(S_k)$ de esta cifra es $\frac{k-4}{2}(1-\epsilon) + 1$. Eligiendo $\epsilon$ tan pequeño como usted desea usted puede hacer $A(R_k)/A(S_k) = \left((k-4)(1-\epsilon)/2 + 1\right)^{-1}$ tan cerca del límite usted derivados como sea posible.