Entendiendo la expansión en la base $k$

Question

Hay algunas veces en las que uno podría necesitar usar la expansión de los números reales en alguna base $k$ . Un ejemplo es que cuando se trata del conjunto de Cantor, se utiliza la expansión de los números en el interior $[0,1]$ en la base $3$ . El punto es que simplemente no puedo entender estas expansiones. Estoy preguntando aquí en el contexto más general de la expansión en la base $k$ para tratar de hacer la pregunta más útil.

Como entendí, la expansión de un número $a \in \mathbb {R}$ en base 3 significa escribir

$$a = \sum_ {n=1}^ \infty \dfrac {a_n}{3^n} \quad a_n \in \{0,1,2\}.$$

En ese escenario, imagino la expansión de $a$ en la base $k$ significaría escribir

$$a = \sum_ {n=1}^ \infty \dfrac {a_n}{k^n} \quad a_n \in \{0,1, \dots , k-1\}.$$

Ahora, ¿qué significan realmente esas expansiones? Simplemente no puedo entenderlo, estamos descomponiendo los números como ciertas series. ¿Pero qué significan realmente esas series? ¿Por qué alguien consideraría hacer estas expansiones? Lo que los coeficientes $a_n$ ?

Creo que esto está relacionado con las expansiones decimales, es decir, cuando escribimos un número $a = a_0.a_1a_2a_3 \dots $ pero no estoy seguro de cómo hacer rigurosa esta conexión. Además, creo que esto sería cierto sólo para $k=10$ así que para los otros casos todavía sería algo difícil de entender.

En realidad, me parece que esto se ha utilizado varias veces en algunas pruebas, siendo el conjunto de Cantor el ejemplo más conocido. Pero hasta ahora no he entendido bien qué son estas expansiones y cómo trabajar con ellas.

Answer 1

La idea básica es cortar el intervalo $[0,1)$ en $k$ intervalos de igual longitud $$[0, \frac {1}{k}), \ [ \frac {1}{k}, \frac {2}{k}), \dots ,\ [ \frac {k-1}{k},1).$$ Luego $a$ pertenece a uno y sólo uno de esos intervalos. Este intervalo define los valores de $a_1$ .

Luego, se puede reproducir el proceso con el intervalo que se encontró arriba, lo que induce el valor de $a_2$ . Haciendo esto de forma recursiva, se define un conjunto de intervalos anidados que conciernen a un punto, que es $a$ en sí mismo.

Con suerte, esto da una visión básica del desarrollo de $a$ en la base $k$ .

Answer 2

Aquí hay un ejemplo:

Aquí el número $x=0.6$ se escribe en la notación decimal habitual.

Cuando pasamos de $x=0.6$ en el eje que sigue la línea vertical hacia abajo a través del patrón azul correspondiente a la expansión binaria, anotando un $0$ si entramos en la mitad inferior de la siguiente subdivisión y $1$ si entramos en la mitad superior de la siguiente subdivisión, obtenemos la secuencia $1,0,0,1,1,0$ .

Si en cambio pasamos de $x=0.6$ en el eje hacia arriba a través del patrón rojo correspondiente a la escritura de expansión ternaria $0$ para entrar en el tercio inferior, $1$ para entrar en el tercio medio, y $2$ para entrar en el tercio superior, obtenemos la secuencia $1,2,1,0$ .

Esto corresponde a las relaciones $$ 0.6_{10} \approx 0.100110_2 \approx 0.1210_3 $$ con los subíndices que se refieren a las bases relevantes. Equivalentemente $$ \frac {6}{10} \approx\frac1 {2}+ \frac0 {4}+ \frac0 {8}+ \frac1 {16}+ \frac1 {32}+ \frac0 {64} \approx\frac13 + \frac29 + \frac1 {27}+ \frac0 {81} $$

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Como probablemente sepas, el sistema binario puede ser a menudo útil cuando se trata de informática. Tanto el binario como el ternario pueden ser relevantes en estructuras de árboles que se ramifican en dos o tres subdivisiones en cada vértice.

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Otro hecho divertido es que los números racionales siempre tienen una cola de patrones repetidos de los coeficientes en las expansiones en cualquier base $k$ . En el ejemplo actual se puede mostrar que $$ 0.6_{10}=0.10 \overline {1100}_2=0. \overline {1210}_3 $$ donde los dos últimos repiten sus patrones superpuestos para siempre, como se puede ver aquí .

Answer 3

Cuando escribimos un número en la base $k$ sólo escribimos los "dígitos" que son números en $\{0,1, \dots ,k-1\}$ al igual que el número decimal $3.14159$ realmente significa $$3+1 \cdot10 ^{-1}+4 \cdot10 ^{-2}+1 \cdot10 ^{-3}+5 \cdot10 ^{-4}+9 \cdot10 ^{-5}$$ Estos son simplemente ejemplos de notación posicional para los números un sistema de notación condensada para los números.