El volumen de un hypersphere

Question

Sabemos que el área de un círculo (2-D) =$\pi r^{2}$ y el volumen de una esfera (3-D)= $\dfrac{4}{3}\pi r^{3}$.

Pregunta: ¿Qué es el "volumen"(o lo que sea que se llama) de un n-dimensional de la esfera?

Una solución utilizando el cálculo o nada de primaria (no topología o cualquier cosa de ese tipo), es lo que estoy buscando.

Answer 1

No hay un estándar "truco" para la evaluación de esta. En primer lugar, tenga en cuenta que $$ \int_{\mathbb{R}}e^{-\pi x^2}\,\mathrm{d}x=1\etiqueta{1} $$ Multiplicando $(1)$ junto $n$ veces, obtenemos $$ \int_{\mathbb{R}^n}e^{-\pi x^2}\,\mathrm{d}x=1\etiqueta{2} $$ La conversión de $(2)$ a coordenadas polares de los rendimientos $$ \int_0^\infty\omega_{n-1}e^{-\pi r^2}r^{n-1}\,\mathrm{d}r=1\etiqueta{3} $$ donde $\omega_{n-1}$ es el área de la $n-1$ dimensiones de la unidad de la esfera. Calcular $\omega_{n-1}$ como sigue $$ \begin{align} 1 &=\int_0^\infty\omega_{n-1}e^{-\pi r^2}r^{n-1}\,\mathrm{d}r\\ &=\frac12\int_0^\infty\omega_{n-1}e^{-\pi r^2}r^{n-2}\,\mathrm{d}r^2\\ &=\frac{\pi^{-n/2}}2\int_0^\infty\omega_{n-1}e^{-s}s^{n/2-1}\,\mathrm{d}s\\ &=\frac{\pi^{-n/2}}2\omega_{n-1}\Gamma(n/2)\\ \omega_{n-1}&=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma(n/2)}\tag{4} \end{align} $$ Ahora, podemos calcular el volumen de la $n$ dimensiones de la esfera, por $$ \begin{align} \int_0^r\omega_{n-1}t^{n-1}\,\mathrm{d}t &=\frac{\omega_{n-1}}{n}r^n\\ &=\frac{2\pi^{n/2}}{n\Gamma(n/2)}r^n\\[6pt] &=\left\{\begin{array}{} \frac{\pi^{n/2}}{(n/2)!}r^n&\quad\text{if %#%#% is even}\\[6pt] \frac{2^n\left(\frac{n-1}{2}\right)!}{n!}\pi^{\frac{n-1}{2}}r^n&\quad\text{if %#%#% is odd} \end{array}\right.\la etiqueta{5} \end{align} $$