El cálculo de la Fabius función.

Question

Ayer me enteré acerca de la extraña Fabius función de $f$ en esta pregunta. Dado mi interés en las redes neuronales y el hecho de que esta función tiene un distinto sigmoide forma, me dio curiosidad acerca de cómo calcular esta función.

Tres fórmulas que se dan en la página de la wikipedia sobre:

1. La primera relación es la transformada de Fourier: $$\mathcal F(f(x))(z)=\hat f (z) = \prod_{m=1}^{\infty} \left(\cos\left(\frac{\pi z}{2^m}\right)\right)^m$$

2. Un probabilística de la fórmula con respecto a ella, dice que es igual a la función de distribución acumulativa de

$$\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}\xi_n, \text{ where } \xi_n = U(0,1)$$

3. Un funcional de la ecuación también se da, de los cuales cumple:

$$f'(x) = 2f(2x)$$

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Así que ahora a la pregunta ... dado estas ecuaciones, o lo que podemos derivar de ellos, lo que sería un enfoque práctico para calcular los valores de la función en un igualmente espaciado de la cuadrícula para esta función?

En otras palabras, la estimación de $$f(\Delta_t n), \,\, \text{ where }\,\,\cases{ n= \{0,\cdots ,2^{m}-1\}\\ \Delta_t = 2^{-m}}$$

Puntos de bonificación para considerar que todos en todos los recursos computacionales necesarios para los cálculos.

Answer 1

Este artículo responde a su pregunta: "Evaluación de la Fabius función, Jan Kristian Haugland". https://arxiv.org/pdf/1609.07999.pdf