Análogos de $SU(2)$ y $SO(3)$

Question

Los grupos $SU_2(\mathbb{C})$ y $SO_3(\mathbb{R})$ son interesantes en la geometría, y hay un $2$ -a- $1$ mapa de $SU_2(\mathbb{C})$ a $SO_3(\mathbb{R})$ . Hay un número finito de grupos finitos en $SO_3(\mathbb{R})$ (hasta el isomorfismo), y en consecuencia, hay un número finito de grupos en $SU_2(\mathbb{C})$ que generalmente se denominan grupos dobles.

¿Cuáles son los análogos de dimensión superior de $SU_2(\mathbb{C})$ , $SO_3(\mathbb{R})$ con un mapa similar (como $2$ -a- $1$ arriba), y donde podemos realizar familias interesantes de grupos finitos como "subgrupos" (como arriba).

Answer 1

En cuanto a la generalización de la $2$ -a- $1$ mapa, quiere espacio de cobertura teoría. La teoría del espacio de cobertura de Grupos de Lie está bien entendida; todo grupo de Lie conectado $G$ tiene una cubierta universal $\tilde{G}$ que es un simplemente conectado grupo de Lie, completamente determinado por su Álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ y el mapa de cobertura $\tilde{G} \to G$ es el cociente por un discreto central subgrupo de $\tilde{G}$ . Por lo tanto, para clasificar estos mapas de cobertura basta con

• clasifican grupos de Lie simplemente conectados (equivalentemente, álgebras de Lie) y
• calcular sus centros.

La clasificación de las álgebras de Lie es desesperante en general, pero puede en algún sentido (ver Descomposición de Levi ) se reduzca al semisimple caso, donde sorprendentemente hay una clasificación completa.

Ejemplo. Si $G = \text{SO}(n)$ es el grupo ortogonal especial de rotaciones en $\mathbb{R}^n$ , entonces para $n \ge 3$ la cubierta universal correspondiente es la grupo de giro $\text{Spin}(n)$ (así $\text{Spin}(3) \cong \text{SU}(2)$ ; este es un isomorfismo excepcional ). Los grupos de espín son importantes en la geometría y la física.

Subejemplo. Si $G = \text{SO}(4)$ entonces su cobertura universal es $\text{Spin}(4)$ que tiene un isomorfismo excepcional con $\text{SU}(2) \times \text{SU}(2)$ . Como en el caso de $n = 3$ este isomorfismo excepcional se puede explicar utilizando cuaterniones .

La introducción más sencilla a la teoría de Lie que conozco, que al menos le permitirá familiarizarse con los ejemplos básicos, es la obra de Stillwell Teoría ingenua de Lie .

En cuanto a los subgrupos finitos, una palabra clave es "correspondencia de McKay". También puede interesarle conocer la teoría de la representación de grupos finitos.