En cuanto a la generalización de la $2$ -a- $1$ mapa, quiere espacio de cobertura teoría. La teoría del espacio de cobertura de Grupos de Lie está bien entendida; todo grupo de Lie conectado $G$ tiene una cubierta universal $\tilde{G}$ que es un simplemente conectado grupo de Lie, completamente determinado por su Álgebra de Lie $\mathfrak{g}$ y el mapa de cobertura $\tilde{G} \to G$ es el cociente por un discreto central subgrupo de $\tilde{G}$ . Por lo tanto, para clasificar estos mapas de cobertura basta con
- clasifican grupos de Lie simplemente conectados (equivalentemente, álgebras de Lie) y
- calcular sus centros.
La clasificación de las álgebras de Lie es desesperante en general, pero puede en algún sentido (ver Descomposición de Levi ) se reduzca al semisimple caso, donde sorprendentemente hay una clasificación completa.
Ejemplo. Si $G = \text{SO}(n)$ es el grupo ortogonal especial de rotaciones en $\mathbb{R}^n$ , entonces para $n \ge 3$ la cubierta universal correspondiente es la grupo de giro $\text{Spin}(n)$ (así $\text{Spin}(3) \cong \text{SU}(2)$ ; este es un isomorfismo excepcional ). Los grupos de espín son importantes en la geometría y la física.
Subejemplo. Si $G = \text{SO}(4)$ entonces su cobertura universal es $\text{Spin}(4)$ que tiene un isomorfismo excepcional con $\text{SU}(2) \times \text{SU}(2)$ . Como en el caso de $n = 3$ este isomorfismo excepcional se puede explicar utilizando cuaterniones .
La introducción más sencilla a la teoría de Lie que conozco, que al menos le permitirá familiarizarse con los ejemplos básicos, es la obra de Stillwell Teoría ingenua de Lie .
En cuanto a los subgrupos finitos, una palabra clave es "correspondencia de McKay". También puede interesarle conocer la teoría de la representación de grupos finitos.
