El sorteo de la quinta ronda de la FA Cup.

Question

El sorteo de la quinta ronda de la FA Cup está a punto de ser hecho. Hay 16 equipos, dando lugar a ocho partidos. Su tarea es a la par de los equipos de fuera, en un intento de adivinar el mayor número posible de los partidos reales en el real de la Copa del sorteo. No se te pide que los equipos serán sorteados en casa, sólo que pares serán seleccionados.

¿Cuál es la probabilidad de que al menos cuatro deducciones correctas?

Pensé acerca del uso de la probabilidad condicional de árbol, después de que el tercer nivel se hizo demasiado grande y confuso.

Puedo dividir el árbol en 8 diferentes niveles, en el nivel uno de la probabilidad de selección de un par correcto es 1/15, a continuación, nivel 2 depende de si el nivel uno, supongo que recogió un par correcto o no. Anterior par correcto calculará a 1/13, de una previa selección equivocada calculará a 6/91. Como he desarrollado d árbol se convirtió en un pequeño complejo.

Answer 1

Sí, un diagrama de árbol será difícil de manejar.

En primer lugar, podemos contar el número de maneras para emparejar los equipos. Podemos organizar los equipos en una línea en $16!$ maneras. Luego combinamos el primer equipo con el segundo, el tercero con el cuarto, y así sucesivamente. Por supuesto, en cada uno de los grupos obtenemos el mismo resultado si los equipos vienen en otro orden, por lo que tenemos que dividir por $2^8.$ También, el orden de las $8$ grupos es irrelevante, por lo que tenemos que dividir por $8!$. Esto le da a $${16!\over2^88!}=2,027,025$$ posibles emparejamientos. (Para un diagrama de árbol parece estar fuera de la cuestión.)

Para calcular el número de maneras de conseguir, al menos, $4$ pares correcto, tenga en cuenta que hay ${8\choose4}$ formas para elegir la correcta pares, y entonces podemos pares fuera el resto de $8$ equipos de cualquier manera, ya que han asegurado a nosotros mismos de $4$ correcta pares ya. Por la misma lógica anterior, esto da $${8\choose4}{8!\over2^44^!}$$ maneras.

Hay un problema con este cálculo. Supongamos $5$ pares son elegidos correctamente. Hemos contado este caso $5$ veces: una vez para cada uno de los grupos de $4$ pares, entre el $5.$ Así, tenemos que restar $4$ veces el número de formas de elegir los $5$ correcta pares.

Pero todavía tenemos un problema con el caso donde elegimos $6$ correcta pares. Hemos agregado la cuenta ${6\choose4}=15$ veces y se resta de lo $4{6\choose5}=24$ de veces, así que necesitamos para volver a sumar de a$10$ veces el número de formas de elegir los $6$ correcta pares.

Todavía tenemos que lidiar con la posibilidad de elegir a$8$ correcta pares y hacer la media aritmética. (Aviso que es imposible escoger exactamente $7$ correcta pares, desde el octavo par será necesariamente correcta).

Creo que voy a ser capaz de completar el problema con los consejos que le he dado, pero se sienten libres para hacer más preguntas a la necesidad.

EDITAR

Llego $4705$ para el numerador, dando una probabilidad de aproximadamente el $0.0023211.$ Una simulación con $10$ millones de ensayos resultó en $23291$ gana, muy de acuerdo con este resultado. (Antes, he publicado un resultado incorrecto de $\approx.0022106,$ , pero los resultados de la simulación me llevó a revisar mis cálculos y encontrar el error.)