Un problema geométrico en número de puntos y líneas.

Question

Hay puntos P y L líneas que

• Cada línea contiene 8 puntos
• Cada punto se encuentra en 8 líneas
• Cualquiera de las dos distintas líneas se intersectan en un único punto
• Cualquier dos puntos se encuentran en una única línea.

Las líneas pueden ser rectas o curvas. ¿Qué es $P\times L$ ?

Mi respuesta, es que, utilizando dos últimas condiciones, si $P$ no es de puntos, entonces L = $\binom{P}{2}$. También si el número de líneas es $L$ entonces $P = \binom{L}{2}$, desde aquí tenemos $\binom{\binom{L}{2}}{2} = L$ que da 3 como L. ciertamente, Este es incorrecta.

La forma de abordar este problema geométrico?

Answer 1

Debido a las dos primeras condiciones tenemos $$L\times 8 = P\times 8\implies L=P$ $

Luego de la última condición tenemos $${8\choose 2}L = {P\choose 2}\implies P= 57$ $

Tal configuración realmente existe, es un plano proyectivo de orden $7$ , tiene $7^2+7+1$ puntos y el mismo número de líneas.

Answer 2

Hay $\binom P2$ de pares de puntos, y cada pareja se le da a una línea. Sin embargo, cada línea tiene $8$ puntos sobre la misma, lo que significa que los pares de puntos se dividen en grupos de a$\binom 82=28$, donde cualquier pareja en un grupo se da la misma línea. Por lo que el número de líneas distintas es $L= \frac{\binom P2}{28}$.

Del mismo modo, el número de los distintos puntos de es $P= \frac{\binom L2}{28}$.

Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones: $$ \casos{P=\frac{L(L-1)}{56}\\L=\frac{P(P-1)}{56}} $$

Answer 3

• Cualquiera de las dos distintas líneas se intersectan en un único punto
• Cualquier dos puntos se encuentran en una única línea.

Estas dos reglas son, esencialmente, la incidencia de los axiomas de dos dimensiones de la geometría proyectiva. Como tal, tenemos un modelo estándar para el sistema aquí descrito: el plano proyectivo sobre el campo $\mathbb{F}_7=\mathbb{Z}/7$ con siete elementos.

Podemos utilizar ese modelo para contar los puntos y las líneas - o podemos hacer las cosas de manera directa. Supongamos que tenemos un proyectiva del plano, tales que cada línea de ha $n+1$ puntos y cada punto es en $n+1$ líneas.
A continuación, considere el sistema de todos los $n+1$ líneas a través de un punto dado, $P$. Estas líneas contienen cada uno $n$ puntos distintos de $P$. Además, cada punto de $P$ es exactamente una de estas líneas. Eso es $n(n+1)$ puntos distintos de $P$; agregar $P$ nuevo, y tenemos un total de exactamente $n^2+n+1$ puntos.
Por simetría entre puntos y líneas, también tenemos exactamente $n^2+n+1$ de las líneas, podemos ejecutar una similar recuento mediante alguna línea en particular, $\ell$, $n+1$ puntos en ella, y el $n$ otras líneas a través de cada uno de esos puntos.

Para nuestro ejemplo con $n+1=8$, que es $7^2+7+1=57$ cada uno de los puntos y líneas, para un producto de $3249$.