Si un mapa analítico$f$ tiene "muchos" valores en un conjunto insignificante$B$, ¿$\text{Image}(f) \subseteq B$?

Question

Deje $k>n$ ser enteros positivos, y deje $f:\mathbb R^n \to \mathbb R^k$ ser un real-analítica de mapa (es decir, cada componente de $f$ es un real-analítica de la función).

Supongamos que tenemos un subconjunto medible $B \subseteq \mathbb R^k$ de medida cero, tal que $f^{-1}(B)$ tiene medida positiva en $\mathbb R^n$. Es cierto que $\text{Image}(f) \subseteq B$?

¿Hay algo que cambiar, si asumimos que $B$ está cerrado?

Aquí están algunas buenas casos especiales:

Si $B=\{ 0\}$, entonces la respuesta es positiva: La puesta a cero de un no-cero de la analítica de la función tiene medida cero.

Del mismo modo, si $B$ es un hyperplane en $\mathbb R^k$, entonces podemos componer $f$ con un funcional lineal que se desvanece exactamente en este hyperplane y el uso de la observación anterior.

Tenga en cuenta que si sólo sabemos que $B$ está contenida en un hyperplane $H$, lo único que podemos concluir es que la imagen de $f$ está contenido en $H$. Como la Celebración de Arthur de la respuesta de la muestra, no podemos, en general, a la conclusión de que la imagen de $f$ está contenido en $B$.

Answer 1

¿Te estás perdiendo algo en tu pregunta? Deje $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2: x \to (x,x)$ . Luego, el conjunto $B=\{(x,x):0\leq x\leq1\}$ tiene medida cero en $\mathbb{R}^2$ , y $f^{-1}(\{(x,x):0\leq x\leq1\})=[0,1]$ tiene medida mebesgue $1$ . Pero claramente la imagen de $f$ NO está en $B$ . Por favor, dime si he leído mal tu pregunta.