Y, ¿para qué

Question

$\int(x+1)\cdot f'(x)= x^3+x^2-x+c$ e $f(0)=\frac{1}{2}$. ¿Qué es $f(-1)$?

Tomé la derivada de ambos lados y luego se factoriza la ecuación de segundo grado en derecho:

$$(x+1)\cdot f'(x)=3x^2+2x-1$$

$$(x+1)\cdot f'(x)=(3x-1)(x+1)$$

En este punto, si puedo dividir ambos lados de la ecuación por $x+1$, tomando la integral se convierte en fácil y puedo darme cuenta de que la respuesta $3$.

Sin embargo, porque la hemos dividido por $x+1$ al principio, debemos tener en cuenta que $x\not = -1$. Por lo tanto, en realidad no puedo calcular $f(-1)$.

Existe una forma sencilla de resolver este problema?

Answer 1

Como $f'(x)=3x-1$ en $(-1,0]$ , por el teorema fundamental del cálculo, tenemos $$ \begin{align*} f(0)-f(-1)&=\lim_{t\to -1,\ t>-1} f(0)-f(t)\\&=\lim_{t\to -1,\ t>-1} \int_t^0 (3x-1)\ dx\\&=-2.5 \end {align *}$$ hence we get $ f (-1) = 3$. In fact, if you have $ f '(x) = 3x-1$ for all $ x \ ne 1$, then mean value theorem implies the existence of $ c_x \ en (-1, x) \ cup (x, -1)$ such that $ \ frac {f ( x) -f (-1)} {x - (- 1)} = f '(c_x) $ , por lo tanto $$ \ lim_ {x \ to -1} \ frac {f (x) -f (-1) } {x - (- 1)} = \ lim_ {c \ a -1} f '(c) = - 4. $$ So $ f '(- 1) = - 4$ and there's no problem extending $ f' (x) = 3x-1$ to $ x = -1 $ .