La pregunta sobre probar que$\mathbb{Z}[i]$ no es UFD

Question

Sé que es una pregunta tonta, pero por qué $10=\left(3+i\right)\left(3-i\right)=2\cdot5$ no es suficiente para demostrar que $\mathbb{Z}[i]$ no es una UFD. ¡Gracias por adelantado!

Answer 1

Porque $2=(1+i)(1-i)$ y $5=(2+i)(2-i)$ , mientras que $3+i=(1+i)(2-i)$ y $3-i=(1-i)(2+i)$ . Entonces, realmente, solo has agrupado los cuatro factores primos de $10$ de diferentes maneras.

Answer 2

El anillo $\mathbb Z$ es un UFD, a pesar del hecho de que $12=2\times6=4\times3$ . No hay contradicción, ya que estas descomposiciones no expresan $12$ como un producto de enteros irreductibles.

Answer 3

$\mathbb{Z}[i]$ es mucho más que un disco flash usb. Cuando se permite que los factores complejos, $4n+1$ "primos" no son números primos más. Son las sumas de cuadrados, el cual puede ser representado como el producto de complejos conjugados; así

$5=2^2+1^2=(2+i)(2-i)$

El número de $2$ es igualmente no prime, ya que es también una suma de cuadrados:

$2=1^2+1^2=(1+i)(1-i).$

Así

$10=2×5=(1+i)(1-i)(2+i)(2-i),$

que es única excepción de la unidad de factores (factores de $\pm i$ o $-1$).

Aquí están algunas reglas para la identificación real de los números primos en $\mathbb{Z}[i]$:

1) Un número entero positivo es primo si sólo es un ordinarios de primer Y esto no puede ser la suma de dos cuadrados. Así que el ordinario de primer tiene que ser uno menos que un múltiplo de $4$. Otros ordinaria de los números primos, con la suma de dos cuadrados de las representaciones, se puede convertir en el complejo conjugado de productos como los de arriba.

2) Un número complejo $a+bi$ con $a$ e $b$ distinto de cero es un número primo sólo si $a^2+b^2$ es una corriente principal. Si esto no se sostiene, usted tiene factores cuya correspondientes sumas de cuadrados de los factores de su $a^2+b^2$ valor. Así

$3+i=(1+i)(2-i)$

donde

$3^2+1^2=10,1^2+1^2=2,2^2+1^2=5$.

3) Finalmente, el primer está vinculado a los demás por la unidad de los factores (factores de $\pm i$ o $-1$). Por lo tanto $3$ está vinculado a $\pm 3i$ e $-3$, todos los cuales son, en efecto, diferentes imágenes de una sola prime. Del mismo modo $1+i$ está vinculado a $1-i$ e $-1\pm i$ a través de la unidad de factores.

Answer 4

En realidad, hay un par más de diferente aspecto factorizations se podrían acumular en lo que hay: $$(-1 + i)(1 + i)(-1 + 2i)(1 + 2i) = (1 - 3i)(1 + 3i) = 10.$$ However, that's no more distinct than saying $-2 \veces -5$ is a factorization of $10$ in $\mathbb{Z}$ that's distinct from $5 \times 2$.

Para la única factorización, ignoramos:

• el pedido
• la multiplicación por unidades

En $\mathbb{Z}[i]$, las unidades son, a la derecha del "doce": $i, 1, -i, -1$. Por lo $3i, -3i, -3$ son tan privilegiada como $3$.

Y, por supuesto, usted también tiene que asegurarse de que realmente tienen los números primos, y no composites sin evidentes factores primos. Por ejemplo, en z, $1729 = 19 \times 91$, pero una de ellas es en realidad compuesto, aunque seguro que se ve como podría ser el primer.