Prueba de imagen de que el área de un triángulo rectángulo es$xy$

Question

Me topé con el siguiente resultado por accidente:

Deje $A, B, C$ ser los vértices de un triángulo rectángulo, el lado opuesto longitudes $a, b, c$ respectivamente, donde $\angle C = 90^\circ$ e $a^2 + b^2 = c^2$.

Dibujar la circunferencia inscrita, y deje $x, y, z$ ser la longitud de la tangente desde los vértices $A$, $B$, e $C$ , respectivamente, a la de la circunferencia inscrita. (Por lo $a = y + z$, $b = x + z$, e $c = x + y$.)

Entonces el área del triángulo es $\boldsymbol{xy}$.

Puedo probar esto de manera algebraica,$^1$ pero hay una imagen de prueba de este hecho?

Lo que tengo en mente es que nos cortan el triángulo $ABC$ en un número finito de piezas, y reorganizar en un rectángulo con lados de $x$ e $y$.

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$^1$ Uso de $x = \frac{b+c-a}{2}$ e $y = \frac{a+c-b}{2}$, obtenemos $xy = \frac14\left(c - (a-b)\right)\left(c + (a-b)\right) = \frac14\left(c^2 - a^2 - b^2 + 2ab\right)$. De $c^2 = a^2 + b^2$ esto se reduce a $\frac14 (2ab) = \frac12 ab$, que es el área del triángulo.

Answer 1

Sea A el área del triángulo original recortada de forma obvia como en la imagen. Entonces el área del rectángulo es $A_r = 2 A = ab = xy + A$ . Por lo tanto $xy = A$ .

Answer 2

Mi solución utiliza un poco de álgebra.

Si usted superponer los triángulos como se muestra en la figura, el área del cuadrado azul es contada dos veces, pero la zona verde no es contado.

La zona verde es (usando Pitágoras) $(x-z)(y-z) = 2z^2$. Una $z^2$ es el área de los triángulos en los que no hemos contar todavía, y el otro $z^2$ proviene de la doble contabilización.

Answer 3

Aquí hay una respuesta para @6005 comentario de "tal vez hay una forma de mostrar $(x-z)(y-z)=z^2$ pictorally".

Refiriéndose a la imagen de abajo, es inmediata a partir de la construcción que, en comparación con el corte hasta el área, A, del triángulo, el área sombreada, $S$ es igual a $A-2z^2$. A continuación, $W = (x-z)(y-z) = 2A -S -A = 2z^2$.