Yo diría que soy bastante bueno en hacer trigonométricas sustitución cuando hay una raíz cuadrada, pero cuando no hay uno, estoy perdido.
Actualmente estoy tratando de resolver la siguiente pregunta:
$$Ar \int_a^\infty \frac{dx}{(r^2+x^2)^{(3/2)}}$$
De todos modos, hasta el momento, tengo que:
$$x = r\tan \theta$$
$$dx = r\sec^2 \theta$$
$$\sqrt {(r^2+x^2)} = r\sec\theta$$
El triángulo he basado en los valores anteriores en:
Dado que $(r^2+x^2)^{(3/2)}$ puede ser reescrita como $ (\sqrt{r^2+x^2})^3$, empiezo a resolver. Por favor pretender he a$\lim \limits_{b \to \infty}$ delante de cada línea por favor.
\begin{align} &= Ar \int_a^b \frac{r\sec^2\theta}{(r\sec\theta)^3}d\theta \\ &= Ar \int_a^b \frac{r\sec^2\theta}{r^3\sec^6\theta}d\theta \\ &= \frac{A}{r} \int_a^b \frac{1}{\sec^4\theta}d\theta \\ &= \frac{A}{r} \int_a^b \cos^4\theta d\theta \\ &= \frac{A}{r} \int_a^b (\cos^2\theta)^2 d\theta \\ &= \frac{A}{r} \int_a^b \left[\ \frac12 1+\cos(2\theta))\ \right]^2d\theta \\ &= \frac{A}{4r} \int_a^b 1 + 2\cos(2\theta) + \cos^2(2\theta)\ d\theta \\ &= \frac{A}{4r} \int_a^b 1 + 2\cos(2\theta)\ d\theta \quad+\quad \frac{A}{4r} \int_a^b \cos^2(2\theta)\ d\theta \end{align}
Y a partir de ahí se vuelve muy desordenado y termino con un raro semi-final de la respuesta de $$\frac{A}{4r}[2\theta+\sin(2\theta)] + \frac{A}{32r} [4\theta+\sin(4\theta)]$$ lo cual es incorrecto, después de hacer sustituciones.
Ya sé que la respuesta final es $\dfrac{A}{r}\left(1-\dfrac{a}{\sqrt{r^2+a^2}}\right)$, pero lo que realmente quiero entender esto.
