Entendiendo una prueba de un conjunto cerrado

Question

Deje $r > 0$ ser un número positivo, y definir $F = \{u \en \mathbb{R}^{n} \mid \|u\| \leq r\}$. Prove $F$ es cerrado en $\mathbb{R}^{n}$.

Prueba:

Queremos mostrar que si una secuencia $\{u_{k}\}$ se encuentra en $F$ e $\lim_{k\to\infty} u_{k} = u$, a continuación, $u \in F$. Deje $\{u_{k}\}$ estar en secuencia arbitraria en $F$. Por la definición del conjunto de $F$, se deduce que el $\|u_{k}\| \leq r$ para cada índice $k$. Por lo tanto,

$$\lim_{k\to\infty} \|u_{k}\| \leq \lim_{k\to\infty} r = r.$$

A partir de aquí, es suficiente para mostrar $\lim_{k\to\infty} \|u_{k}\| = \|u\|$.

La prueba se enciende y muestra que $\lim_{k\to\infty} \|u_{k}\| = \|u\|$

---

Mi pregunta:

No entiendo por qué esto es suficiente para mostrar que la secuencia de las normas converge a la norma del punto límite? Después de probar este hecho, dicen que la $\lim_{k\to\infty} \|u_{k}\| = \|u\| = r$, del que se desprende que $u \in F$, por lo tanto $F$ es cerrado. Pero, no tengo por qué probar esto muestra que $u$ está contenido en $F$.

Answer 1

Creo que estás un poco confundido así que voy a tratar de hacer el argumento con más detalles. En primer lugar, mostrar que un conjunto es cerrado es equivalente a mostrar que cada convergencia de la secuencia tiene un punto límite EN el conjunto. Aquí el conjunto que nos interesa es el $F=\{u\in \mathbb{R}^n : ||u||\leq r\}$. Por lo tanto, si elegimos una secuencia $(u_k)_k\subset F$ tal que $u_k\to u$, es suficiente para mostrar que $u\in F$ a demostrar que $F$ es cerrado. ¿Qué significa ser un elemento de $F$ ? Significa, simplemente, que $||u||\leq r$ ! Así que tenemos que demostrar que $||u||\leq r$ :), por Eso no es suficiente para mostrar que la norma de la $u_k$'s va a la norma de $u$ porque $||u_k||\leq r$ para todos los $k$ y tomando el límite dentro de la norma debido a que la norma es continua, obtenemos $||u||\leq r$ , que es la condición de un elemento de $\mathbb{R}^n$ tiene que satisfacer a ser en $F$. Si desea más detalles, que me haga saber !

Answer 2

La prueba proporcionada por Malik es correcta. Me voy a dar una respuestas separada porque no hay otro método que funciona a menudo en general y a menudo es más fácil. Un conjunto es cerrado si su complemento es abierto. Así que supongamos que usted tiene un punto de $x \notin F$, por lo que $||x|| \gt r$. Se puede demostrar que no hay necesariamente una bola abierta en torno a $r$ que no se intersectan $F$?

Sugerencia: Deje $||x|| = r+a, a \gt 0$. Deje $\epsilon = a/2$ y considerar la posibilidad de $B(x, \epsilon)$ con el triángulo de la desigualdad.

Answer 3

También puedes notar que probar $$ \lim_{k\to \infty} ||u_k||=||u|| $$ demuestra que $f(u) =||u||$ es continua. Ahora, $$ F=\{ u\in \mathbb R^n : ||u||\le r\} =f^{\leftarrow}([0,r]). $$ Recordando que si $f$ es continua y $C$ es cerrado, a continuación, $f^{\leftarrow}(C)$ es cerrado, el resultado se sigue del hecho de que $[0,r]$ es cerrado en $\mathbb R$.