DEMUESTRE EL VALOR.

Question

Yo estoy haciendo el siguiente ejercicio: probar que $$ \sin(15°)=\frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{3}}} $$

Yo estoy usando esta fórmula: $$ \sin(a-b)=\sin(un)\cos(b)-\cos(a)\sin(b) $$

para obtener: $$ \sin(45-30)=\sin(45)\cos(30)-\cos(45)\sin(30) \\ =\frac{1}{\sqrt2}\frac{\sqrt3}{2}-\frac{1}{\sqrt2}\frac{1}{2} \\ =\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2} $$

Sin embargo estoy atascado, parece que no puede obtener el resultado deseado. Traté de multiplicar por $$\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1}$$ , pero no obtener nada de él. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Son equivalentes. Desde $$(1 + \sqrt{3})^2 = 1 + 2 \sqrt{3} + 3 = 2(2 + \sqrt{3}),$$ it follows that $$\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{1 + \sqrt{3}}{\sqrt{2}}.$$ Then $$\frac{1}{2 \sqrt{2 + \sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{2}}{2 (1 + \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{2}}.$ $

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También vale la pena señalar que podemos obtener la expresión deseada más directamente a través de la identidad de medio ángulo para $0 \le \theta \le 90^\circ$ : $$\sin \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}} = \frac{\sqrt{1 - \cos^2 \theta}}{\sqrt{2 (1 + \cos \theta)}} = \frac{\sin \theta}{\sqrt{2 (1 + \cos \theta)}},$$ where upon selecting $ \ theta = 30 ^ \ circ$ immediately yields $% PS

Answer 2

Desde entonces, ${\sqrt3 - 1} = \sqrt{(\sqrt3 - 1)^2}= \sqrt2 \sqrt{2-\sqrt3}$% $$\frac{\sqrt3 - 1}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}$$ Racionalizando el numerador $$\frac{\sqrt{2 - \sqrt3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{\sqrt{2+\sqrt3}}= \frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt3}}$ $

Answer 3

Porque $$\frac{\sqrt3-1}{2\sqrt2}=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2(\sqrt3+1)(\sqrt3-1)}=\frac{1}{\sqrt2(\sqrt3+1)}=$ $ $$=\frac{1}{\sqrt2\sqrt{(\sqrt3+1)^2}}=\frac{1}{\sqrt2\cdot\sqrt{4+2\sqrt3}}=\frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt3}}.$ $

Answer 4

Empecemos desde donde apilas; después de la racionalización del denominador por $\sqrt 3 +1$ , tienes:

PS

PS