Cómo probar esto $\sqrt[5]{1782+\sqrt[3]{35+15\sqrt{6}}+\cdots}$ es positivo números enteros.

Question

Demostrar que $$\sqrt[5]{1782+405\sqrt[3]{35+15\sqrt{6}}+405\sqrt[3]{35-15\sqrt{6}}}-\sqrt[3]{35+15\sqrt{6}}-\sqrt[3]{35-15\sqrt{6}}\in N$$

Este problema a partir de este

Yo: vamos a $$x=\sqrt[3]{35+15\sqrt{6}}+\sqrt[3]{35-15\sqrt{6}}$$ entonces $$x^3=70+3\sqrt[3]{35^2-(15\sqrt{6})^2}\cdot x=70-3\sqrt[3]{125}x$$

entonces tenemos $$(x^3-70)^3=-27\cdot 125 x$$ $$\Longrightarrow x^6-15x^4-140x^3+225x^2+1050x+4900=0$$ Entonces no puedo ,y creo que es interesante problema, Gracias

Answer 1

Denota $t=\sqrt[3]{15 \sqrt{6}+35}+\sqrt[3]{35-15 \sqrt{6}},$ $t^3+15 t-70=0.$

$\sqrt[5]{1782+405\sqrt[3]{35+15\sqrt{6}}+405\sqrt[3]{35-15\sqrt{6}}}-\sqrt[3]{35+15\sqrt{6}}-\sqrt[3]{35-15\sqrt{6}}$

$=\sqrt[5]{1782+405t}-t$

Desde $(t+2)^5-(1782+405t)=(t+5)^2 \left(t^3+15 t-70\right)=0$, obtenemos $\sqrt[5]{1782+405t}-t=2.$

Answer 2

Esto no es una respuesta completa, pero yo creo que puede ser suficiente para que usted vaya en:

Tenga en cuenta que $x=-3$ es una raíz del polinomio. Por lo tanto, $x+3$ divide $x^5-405x-972$. Dividiendo los rendimientos $x^4-3x^3+9x^2-27x-324$. Resulta que $x=-3$ es una raíz de este cociente así. Dividiendo de nuevo por $x+3$ rendimientos $x^3-6x^2+27x-108$. Las raíces exacta de la cúbico se puede encontrar, y $\sqrt[3]{35\pm\sqrt{6}}$ aparece en las raíces.