Como muchos de ustedes ya saben, yo y Marco Cantarini actualmente están trabajando en las aplicaciones de las fracciones de los operadores de la serie hipergeométrica, la ampliación de la clase de $\phantom{}_{p+1} F_p$s cuya forma cerrada es proporcionada por FL-expansiones (como las que aparecen aquí, pronto en Bollettino UMI). Dicho esto, cualquier perspicaz contribución aquí puede fácilmente resultar en una colaboración, o al menos una cita, en nuestro próximo trabajo. Fracciones de los operadores permiten afirmar que una forma cerrada para cualquier de las siguientes integrales
$$ \int_{0}^{1}\frac{-\log u}{\sqrt{1+6u+u^2}}\,du \tag{A} $$ $$ \int_{0}^{1}\frac{\operatorname{arctanh}(u)}{\sqrt{(1-u^2)(2-u^2)}}\,du\tag{B} $$ $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{z}{\sqrt{3+\cosh z}}\,dz\tag{C} $$ $$ \int_{0}^{1}\frac{K(x)}{\sqrt{x}(2-x)}\,dx\tag{D} $$ (donde $K(x)=\int_{0}^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{1-x\sin^2\theta}}$) resultado en forma cerrada para muchos $\phantom{}_3 F_2$s con el trimestre entero parámetros. Sin embargo, no hemos sido capaces de encontrar una forma cerrada para cualquiera de los anteriores integrales. Es relevante señalar que $$\int_{0}^{1}\frac{-\log x}{\sqrt{x}\sqrt{1-x\sin^2\theta}}\,dx = \frac{4}{\sin\theta}\left[\theta\log(2\sin\theta)+\frac{1}{2}\operatorname{Im}\operatorname{Li}_2(e^{2i\theta})\right]$$ para cualquier $\theta\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ gracias a Shalev/nospoon, y los coeficientes de la serie de Maclaurin de $\frac{1}{\sqrt{1+6u+u^2}}$ son dadas por la central Delannoy números, es decir, polinomios de Legendre evaluados en $3$. Supongo que este es el contexto suficiente, así que:
¿Cómo podemos expresar $(A),(B),(C)$ o $(D)$ en términos de la norma constantes matemáticas y valores de la $\Gamma$ función y polylogarithms?
Pequeña actualización en contexto de expansión: si atacamos $(D)$ a través de la serie de Taylor, el problema se reduce a encontrar el trenzado de la serie hipergeométrica $$ \sum_{n\geq 0}\left[\frac{1}{4^n}\binom{2n}{n}\right]^2\frac{\mathscr{H}_n}{2^n},\qquad \mathscr{H}_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2k+1} \tag{E} $$ mientras que en el fin de abordar $(C)$ través $\int_{0}^{+\infty}\frac{x\,dx}{(\cosh x)^m}$ podría ser vale la pena explotar integral de representaciones para la Riemann $\zeta$ función de Dirichlet y L-función de $L(\chi_4,s)$, como $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{x^s}{\cosh^2 x}\,dx = \zeta(s)\frac{2(2^s-2)\Gamma(s+1)}{4^s}, $$ $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{x^s}{\cosh x}\,dx = 2\,\Gamma(s+1)\,L(\chi_4,s+1)$$ y la integración por partes.
17 de marzo de 2019 Actualización: me doy cuenta de que hubo un error en la pregunta original. $(A)$ debería haber sido $$ \int_{0}^{1}\frac{-\log u}{\sqrt{\color{red}{u}(1+6u+u^2)}}\,du \tag{A} $$ pero estoy seguro de que Shalev la sustitución de $u=\frac{(1-t)}{t(1+t)}$ simplifica la estructura de la integral en este caso, también.
