No hay mucho más que añadir a esta pregunta. ¿Podemos definir una acción entre algún grupo y el conjunto nulo?
Habría pensado que al no haber elementos sobre los que actuar, trivialmente se cumplen los requisitos para que algo sea una acción, pero no estoy seguro.
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Aunque es un poco vacío tener una acción de grupo en un conjunto vacío, ¿verdad? =)
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En particular, el grupo simétrico $S_0$, que tiene orden $1$, actúa naturalmente en el conjunto vacío. Existe una única biyección entre el conjunto vacío y sí mismo.
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@user21820 el interés de un formalismo matemático es evitar tales consideraciones filosóficas. En el mismo espíritu, hubo matemáticos luchando contra la existencia de conjuntos infinitos a finales del siglo XIX...
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@YCor: Eh... Solo estaba bromeando en mi primer comentario, pero no estoy de acuerdo con tu comentario, porque cualquier persona que afirme que utiliza ZFC como su sistema fundamental necesariamente ha hecho algunas suposiciones filosóficas muy extrañas, ya sea que lo sepan o no.
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@user21820 el punto es que una vez que uses ZFC, ya no tendrás que preocuparte más por la filosofía (al menos en lo que respecta a la verdad dentro de la teoría de conjuntos). Y también es el caso en teoría de conjuntos, cuando prefieres tratar con varios modelos de ZF.
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@YCor: Pero eso solo si consideras que "la verdad dentro de la teoría de conjuntos" es significativa. Para no prolongar este hilo con nuestra discusión fuera de tema, ¿quieres venir a la sala de chat de lógica?
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No, no tengo mucho más que decir, y tal vez ya he dicho demasiado aquí.