Desde un enfoque teórico de conjuntos axiomáticos, ¿por qué podemos tomar uniones incontables en primer lugar? Seguro que si $A$ y $B$ son conjuntos, entonces la cosa denotada por $A\cup B$ existe y es un conjunto, pero si queremos extender esto a una unión incontable, no deberíamos asumir alguna forma de Inducción transfinita (y por lo tanto $\sf AC$ )?
Respuestas
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La razón es simple. Los sindicatos no están definidos "en secuencia".
El axioma de la unión nos dice que si tenemos un conjunto $X$ (cuyos elementos son conjuntos, pero que se da en la teoría de conjuntos), a continuación, $\{a\mid\exists x\in X: a\in x\}$ es un conjunto, y se denota que establece como $\bigcup X$, ya que es exactamente la unión de todos los miembros de $X$.
En el caso de que $X=\{A,B\}$ que normalmente escribo $A\cup B$ e no $\bigcup X$. Pero que es el abuso de notación, en lugar de la generalización de la unión.
Observaciones.
Va a encontrar absolutamente ningún rastro de elección aquí.
La recursión transfinita/inducción no requiere de elección. Es sólo que la mayoría de los usos comunes de elección requiere de la recursión transfinita/inducción.
Por supuesto, uno podría preguntarse acerca de la intersección siguiente. La misma respuesta se mantiene, en principio, aunque no es necesario el axioma de la unión de este momento, es necesario el axioma de separación en lugar. Y tenemos que exigir que la familia no está vacía, ya que $\bigcap\varnothing$ es todo el conjunto teórico del universo (tenga en cuenta que la división por cero tipo de error).
Puede encontrar información adicional de apoyo de esta idea en el hecho de que muchas de las propiedades que se mantenga para finito de los sindicatos, y se suelen demostrarse por inducción en la introducción a la matemática discreta clases, en realidad, son mucho más sencillas de demostrar directamente por $\bigcup X$-definiciones de estilo. Por ejemplo, las leyes de DeMorgan (con la salvedad de que los $X$ no está vacía).
Hagen von Eitzen
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Conifold
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No, no es necesario el axioma de elección. El axioma de reemplazo (la imagen de cualquier conjunto bajo cualquier definibles por el mapeo es también un conjunto), junto con el axioma de la unión permite a uno para formar contables de los sindicatos, y, de hecho, los sindicatos indexado por los conjuntos de cualquiera de los ya definidos cardinalidad. Esta es la razón por la escala de alephs puede ser construido en ZF sin utilizar elección, sólo es necesario para probar que todo conjunto es bijective a un aleph. Es interesante que Fraenkel añadido la sustitución de Zermelo original de axiomas cuando se dio cuenta de que sin ella no se puede ir más allá de aleph omega.
