¿Cómo pasamos de $\ln A=\ln P+rn$ a $A=Pe^{rn}$ y ecuaciones logarítmicas similares?

Question

He estado estudiando por mi cuenta el increíble "Engineering Mathematics" de Stroud y Booth, y actualmente estoy aprendiendo sobre álgebra, particularmente logaritmos.

Hay una cuestión que no entiendo que hayan resuelto. A saber, se supone que debo expresar las siguientes ecuaciones sin logaritmos:

$$\ln A = \ln P + rn$$

La solución que ofrecen es:

$$A = Pe^{rn}$$

Pero no tengo ni idea de cómo han llegado a estas soluciones. (Conseguí "descifrar" algunas de las similares pieza a pieza estudiando las reglas de los logaritmos).

Answer 1

La idea básica que subyace a todas las manipulaciones algebraicas básicas es que se intenta aislar alguna variable o expresión del resto de la ecuación (es decir, se intenta "resolver" para $A$ en esta ecuación poniéndolo en un lado de la igualdad por sí mismo).

Para este ejemplo en particular (y de hecho, la mayoría de las preguntas que involucran logaritmos), tendrás que saber que el logaritmo es "invertible"; al igual que multiplicar y dividir por el mismo número distinto de cero no cambia nada, tomar un logaritmo y luego una exponencial de un número positivo no cambia nada.

Por lo tanto, cuando vemos $\ln(A)=\ln(P)+rn$ podemos "deshacer" el logaritmo tomando una exponencial. Sin embargo, lo que hacemos a un lado debe hacerse también al otro, por lo que nos queda lo siguiente después de recordar nuestras reglas básicas de exponenciación: $$ A=e^{\ln(A)}=e^{\ln(P)+rn}=e^{\ln(P)}\cdot e^{rn}=Pe^{rn} $$

Answer 2

Una intuición clave detrás de los logaritmos es que la multiplicación se traduce en suma, es decir

$\ln(A*B)=\ln(A)+\ln(P)\qquad$ y $\qquad\ln(A/B)=\ln(A)-\ln(P)$

Podemos usar esto para resolver su ecuación

$\begin{align} \ln(A)&=\ln(P)+rn\newline \ln(A)-\ln(P)&=rn\newline \ln(A/P)&=rn\newline A/P&=e^{rn}\newline A&=Pe^{rn} \end{align}$

Answer 3

Sugerencia: Escriba $$e^{\ln(A)}=e^{\ln(P)+rn}$$ y usar eso $$e^{\ln(x)}=x$$

Answer 4

Hay un par de cosas que debes saber sobre los logaritmos para entender esa pieza matemática.

En primer lugar, debe saber que $\ln{e}=1$ . Se deduce directamente del hecho de que $e^1=e$ .

En segundo lugar, tienes que saber que puedes deslizar lo que tengas delante del logaritmo hacia arriba y convertirlo en un exponente de lo que está dentro del logaritmo: $x\ln{y}=\ln{y^x}$ .

Además, cuando sumas logaritmos, multiplicas lo que tengas debajo de los signos de logaritmo siempre que el producto sea un número mayor que cero: $\ln{x}+\ln{y}=\ln{(xy)},\ xy>0$ . (Sólo se puede tomar el logaritmo de un número positivo)

Y el último hecho que vas a necesitar es el hecho de que $\ln{x}=\ln{y}\implies x=y$ .

$$\begin{align} \ln{A}&=\ln{P}+rn\cdot 1\\ \ln{A}&=\ln{P}+rn\cdot \ln{e}\\ \ln{A}&=\ln{P}+\ln{e^{rn}}\\ \ln{A}&=\ln{(Pe^{rn})}\\ A&=Pe^{rn} \end{align}$$