¿Cómo se aplica el teorema de Ehrenfest al oscilador armónico cuántico?

Question

El teorema de Ehrenfest, a mi nivel de comprensión, dice que los valores de expectativa para los observables de la mecánica cuántica obedecen a sus contrapartes de la mecánica newtoniana, lo que significa que podemos usar las leyes de Newton sobre los valores de expectativa. Sin embargo, en el caso del oscilador armónico cuántico, éste claramente no parece newtoniano porque el valor de expectativa de la posición no oscila como el newtoniano $ \sin\omega t$ .

Estos estados son de la forma $ \psi =K(n, \xi )e^{- \xi ^2/2}$ . ¿Por qué no obedecen el teorema de Ehrenfest? No dan un oscilador armónico, imo.

Answer 1

En realidad es cierto, de una manera casi trivial. El teorema de Ehrenfest establece que, \begin{equation} \frac{d}{dt}\langle x\rangle=\langle p\rangle,\quad \frac{d}{dt}\langle p\rangle =- \langle V'(x)\rangle \end{equation} Sin embargo, para todas las funciones propias del oscilador armónico $\langle x\rangle=0$ (y por lo tanto $\langle V'(x)\rangle=0$ ) y $\langle p\rangle=0$ . Por tanto, el teorema de Ehrenfest sobre los estados propios se reduce a $0=0$ .

Se puede ver que la versión general del teorema de Ehrenfest funciona trivialmente para todos los estados propios. Afirma que para el observable arbitrario $A$ su valor de expectativa satisface la ecuación, \begin{equation} \frac{d}{dt} \langle A\rangle=\frac{1}{i\hbar}\langle [A,H]\rangle+\langle \frac{\partial A}{\partial t}\rangle \end{equation} Sin embargo, en los estados propios, \begin{equation} \langle\psi_n| [A,H]|\psi_n\rangle=\langle\psi_n|AH-HA|\psi_n\rangle=E_n\langle\psi_n|A-A|\psi_n\rangle=0 \end{equation} Así que el valor de expectativa del observable que no depende explícitamente del tiempo, no evoluciona en los estados propios, que es lo que cabría esperar.

Entonces, ¿a dónde conduce el teorema de Ehrenfest a la dinámica clásica? Hay que considerar los paquetes de ondas localizados. El ejemplo más sencillo sería el estado coherente del oscilador armónico que es el paquete de ondas gaussiano que sigue la trayectoria clásica

Para el oscilador armónico, el teorema de Ehrenfest es siempre "clásico", aunque sólo sea de forma trivial (como en el caso de los estados propios). Sin embargo, en general, el teorema de Ehrenfest se reduce a la ecuación clásica del movimiento sólo en tales paquetes de ondas localizadas que se concentran cerca de la trayectoria clásica como $\hbar$ llega a cero. El punto clave resulta ser el intercambio $\langle V'(x)\rangle \mapsto V'(\langle x\rangle)$ que en los estados generales no se puede hacer. Así que si quieres recuperar algo de dinámica clásica a partir de la teoría cuántica busca en los paquetes de ondas localizados.

Answer 2

1. Su versión de $\psi$ se deriva (estoy seguro de que lo sabes) de la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo, $\hat{H}\psi=E\psi$ . Para encontrar soluciones dependientes del tiempo, resolvemos $$i\frac{\partial}{\partial t}\psi=\hat{H}\psi.$$ Usted estaba tratando de resolver para los estados estacionarios, y todo el punto de esos es que $|\psi(x)|^2$ no cambia con el tiempo. Aún así, para estas soluciones estacionarias soluciones, $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left<x\right>=\left<p\right>=0; \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left<p\right>=-\left<\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}V (x)\right>=0,$$ lo que concuerda con el teorema de Ehrenfest (aunque de forma poco informativa).

2. Tenga cuidado con la dependencia temporal de sus informes $\psi$ : en realidad estás tratando con $\Psi(x, t)=\psi(x)e^{-itE/\hbar}$ para esos estados estacionarios. Por supuesto, esto no está relacionado con el teorema de Ehrenfest, pero es algo que merece la pena mencionar: las partes compleja y real oscilan, como muestran las líneas rosa y azul de este diagrama (de la página de wikipedia sobre QHO):

   No cometas el error de sugerir que todas las derivadas con respecto al tiempo son necesariamente iguales a cero porque la función de onda es independiente del tiempo. Contrariamente a lo que sugiere la notación abreviada, tenemos un bit (separable) dependiente del tiempo.

3. Refiriéndose al mismo diagrama, observe las partes G y H: éstas representan estados coherentes lo que puede entenderse utilizando el teorema de Ehrenfest porque $|\psi|^2$ se parece a una gaussiana que sigue una clásica $\sin$ o $\cos$ función.

Véase

Kanasugi, H., y H. Okada. "Tratamiento sistemático del oscilador armónico general dependiente del tiempo en mecánica clásica y cuántica". Progreso de la física teórica vol. 93, no. 5, 1995, pp. 949-960., doi:10.1143/ptp/93.5.949.

Answer 3

Lo que has escrito no es más que un conjunto completo de soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. \begin{align} [- \frac{\hbar²}{2m} \Delta + V(x) ] \Psi(x) = E \Psi(x) \end{align} Por supuesto, estas soluciones no llevan ninguna dependencia temporal, porque la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (en esta representación) sólo hace afirmaciones sobre funciones que dependen sólo de las coordenadas espaciales (en este caso, esto es sólo x).

¿Cómo llegar a las soluciones dependientes del tiempo? Una propiedad particular de las soluciones $\Psi_{E}$ de la Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es que $\Psi_{E}(x) e^{-i \frac{E}{\hbar}t}$ es una solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo.

Si se aplicara esto al conjunto de soluciones sugeridas del oscilador armónico, se llegaría a soluciones dependientes del tiempo. ÉSAS son sobre las que el Teorema de Ehrenfest hace una afirmación. Entonces calcularías que los valores de expectativa $<X>$ y $<P>$ no cambie. Pero también se podría calcular que ambos valores son 0. Esto concuerda perfectamente con los teoremas de Ehrenfest, y el análogo clásico sería una partícula en reposo en el punto más profundo del potencial armónico.