Estoy recogiendo pruebas para Weitzenbock la desigualdad, he hecho tres pruebas para esto, Ver estas pruebas de abajo(el que tiene más cool de la prueba por favor compartir).
Vamos a, b, c los lados del triángulo y su área, probar que:
$$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq4\sqrt{3}A$$
$$Proof \ 1$$
Deje $R$ el circunradius.Supongamos, por contradicción, que: \begin{equation} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}<\frac{3}{R\sqrt{3}} \tag{1} \end{equation} El uso que: \begin{equation} a+b+c\leq 3R\sqrt{3} \tag{2} \end{equation} Multiplicando (1) e (2): $$(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)<9$$ Lo que es absurdo, esto puede ser visto usando la desigualdad que se refiere a la media aritmética la media armónica, o por la desigualdad de Cauchy-Schwarz. De donde se concluye: \begin{equation} \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{3}{R\sqrt{3}} \end{equation} El uso de $\displaystyle A=\frac{abc}{4R}$, obtenemos: $$ab+ac+bc\geq \frac{\sqrt{3}abc}{R}$$ $$ab+ac+bc\geq 4A\sqrt{3}$$ Este resultado sigue usando ese $\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ac$
$$Proof \ 2$$
Por Heron obtenemos:
\begin{equation*} a^2+b^2+c^2 \geq 4\sqrt{3} \sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)} \end{ecuación*}
Multiplicando ambos lados de la desigualdad anterior por $\displaystyle \sqrt{\left(\frac{a+b+c}{2abc}\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{S}{abc}\right)^2}$, : \begin{equation*} \left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{a+b+c}{2abc}\right) \geq 4\sqrt{3} \sqrt{\frac{S(S-a)}{bc}\frac{S(S-b)}{ac}\frac{S(S-c)}{ab}} \end{ecuación*} Por la ley del coseno y de la ley del seno, tenemos:
\begin{equation*} \left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{a+b+c}{2abc}\right) \geq 4\sqrt{3} cos\frac{\alpha}{2}cos\frac{\beta}{2}cos\frac{\gamma}{2} \end{ecuación*}
\begin{equation*} \left(\frac{a^2}{bc}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}\right)+ \left(\frac{b^2}{ac}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}\right)+ \left(\frac{c^2}{ab}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\right) \geq 8\sqrt{3} cos\frac{\alpha}{2}cos\frac{\beta}{2}cos\frac{\gamma}{2} \end{ecuación*}
\begin{equation*} \left(\frac{sen^2\alpha}{sen\beta sen\gamma}+\frac{sen\alpha}{sen\beta}+\frac{sen\alpha}{sen\gamma}\right)+\left(\frac{sen^2\beta}{sen\alpha sen\gamma}+\frac{sen\beta}{sen\alpha}+\frac{sen\beta}{sen\gamma}\right)+\left(\frac{sen^2\gamma}{sen\alpha sen\beta}+\frac{sen\gamma}{sen\alpha}+\frac{sen\gamma}{sen\beta}\right) \geq 8\sqrt{3} cos\frac{\alpha}{2}cos\frac{\beta}{2}cos\frac{\gamma}{2} \end{ecuación*}
\begin{equation*} (sen\alpha+sen\beta+sen\gamma)\left(\frac{sen\alpha}{sen\beta sen\gamma}+\frac{sen\beta}{sen\alpha sen\gamma}+\frac{sen\gamma}{sen\alpha sen\beta}\right) \geq 8\sqrt{3} cos\frac{\alpha}{2}cos\frac{\beta}{2}cos\frac{\gamma}{2} \end{ecuación*}
\begin{equation*} cot\alpha+cot\beta+cot\gamma\geq \sqrt{3} \end{ecuación*} Y esta desigualdad se sigue de la desigualdad de Jensen.
$$Proof \ 3$$
Deje $\displaystyle R$ el circunradius, $\displaystyle \alpha, \beta, \gamma$ el opuesto de los ángulos agudos a los lados de $\displaystyle a, b, c$, así:
$\\ \\ \displaystyle a^2+b^2-c^2=\frac{4Rabc(a^2+b^2-c^2)}{4Rabc}=\frac{4AR(a^2+b^2-c^2)}{abc}=4A\times\frac{2R}{c}\times\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=4Acot\gamma=4A\sqrt{cot^2\gamma}=4A\sqrt{csc^2\gamma-1}=4A\sqrt{\frac{4R^2}{c^2}-1}=4A\sqrt{\frac{4a^2b^2R^2}{a^2b^2c^2}-1}=4A\sqrt{\frac{a^2b^2}{4\left(\frac{abc}{4R}\right)^2}-1}=4A\sqrt{\frac{a^2b^2}{4A^2}-1}=2\sqrt{4A^2\left(\frac{a^2b^2}{4A^2}-1\right)}=2\sqrt{a^2b^2-4A^2}\Rightarrow a^2+b^2-c^2=2\sqrt{a^2b^2-4A^2}\\ \\$
Por simetría, obtenemos:
\begin{equation*} 2\sqrt{a^2b^2-4A^2}=a^2+b^2-c^2 \end{ecuación*}
\begin{equation*} 2\sqrt{a^2c^2-4A^2}=a^2+c^2-b^2 \end{ecuación*}
\begin{equation*} 2\sqrt{b^2c^2-4A^2}=b^2+c^2-a^2 \end{ecuación*}
La multiplicación de estas igualdades de dos en dos, tendremos:
\begin{equation*} 4\sqrt{a^2b^2-4A^2}\sqrt{b^2c^2-4A^2}=(a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2) \end{ecuación*}
\begin{equation*} 4\sqrt{a^2c^2-4A^2}\sqrt{b^2c^2-4A^2}=(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2) \end{ecuación*}
\begin{equation*} 4\sqrt{a^2b^2-4A^2}\sqrt{a^2c^2-4A^2}=(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2) \end{ecuación*}
Sabemos que $\displaystyle m+n\geq 2\sqrt{mn}$, se sigue que:
\begin{equation*} 2(a^2b^2-4A^2+b^2c^2-4A^2)\geq (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2) \end{ecuación*}
\begin{equation*} 2(a^2c^2-4A^2+b^2c^2-4A^2)\geq(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2) \end{ecuación*}
\begin{equation*} 2(a^2b^2-4A^2+a^2c^2-4A^2)\geq(a^2+c^2-b^2)(a^2+b^2-c^2) \end{ecuación*}
La adición de todas las anteriores desigualdades tendremos: \begin{equation*} 4a^2b^2+4b^2c^2+4a^2c^2-16\times 3 A^2\geq (a^2+b^2-c^2)(b^2+c^2-a^2)+(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2)+(a^2+c^2-b^2)(b^2+c^2-a^2) \end{ecuación*}
Deje $ b^2+c^2-a^2=x,y=a^2+c^2-b^2,z=a^2+b^2-c^2$.Observar que
$$ 2a^2=(a^2+c^2-b^2)+(a^2+b^2-c^2)=y+z$$
$$ 2b^2=(a^2+b^2-c^2)+(b^2+c^2-a^2)=x+z$$
$$ 2c^2=(a^2+c^2-b^2)+(b^2+c^2-a^2)=x+y$$
Obtenemos:
$$ 4a^2b^2=(y+z)(x+z)$$
$$ 4a^2c^2=(y+z)(x+y)$$
$$ 4b^2c^2=(x+z)(x+y)$$
Sustituyendo en la desigualdad anterior, tenemos:
\begin{equation*} (x+z)(x+y)+(x+z)(x+y)+(y+z)(x+z)-16\times 3 A^2\geq xy+xz+yz \end{ecuación*}
\begin{equation*} x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz-16\times 3 A^2\geq 0 \end{ecuación*}
\begin{equation*} (x+y+z)^2-16\times 3 A^2\geq 0 \end{ecuación*}
\begin{equation*} x+y+z\geq 4\sqrt{3}A \end{ecuación*}
