Mnemotecnia para el hecho de que un functor adjunto derecho(izquierdo) preserva los límites(colímites)

Question

Un functor adjunto derecho preserva los límites. A su vez, un functor adjunto a la izquierda preserva los colímites. A menudo olvido cuál es cuál. Por supuesto, puedes buscar en un libro de teoría de categorías o usar internet. Pero es bueno si hay un buen método mnemotécnico para recordar estos hechos.

Answer 1

Esto sólo es difícil si te confundes con los siguientes hechos que están estúpidamente escritos en todos los libros de texto

1. Un límite de un diagrama particular es una extensión de Kan derecho
2. Un functor que asigna límites a los diagramas es un adjunto derecho pero una extensión Kan izquierda.

Lo que ocurre si aplicas un adjunto derecho a un límite es que sigues teniendo un límite, pero si aplicas el adjunto derecho al functor que asigna el límite obtienes un adjunto derecho relativo, que es no una extensión del Kan izquierdo. El hecho correcto es este

3. Un functor que asigna límites a los diagramas es un adjunto derecho relativo, es decir, un derecho absoluto Kan lift ¡, que en general no es una extensión de Kan!

¿Cómo saber si un ascensor o una extensión es un ascensor o una extensión correcta? La transformación natural apunta lejos del compuesto y hacia el functor que se eleva o extiende. Entonces los adyacentes relativos a la derecha, que son elevadores Kan absolutos, preservan todas las extensiones Kan a la derecha, de las que los límites son un ejemplo.

Como no he visto esto en ninguna parte de la literatura, a continuación se presenta el hecho real en el que se basa el resultado de la preservación. Tenga en cuenta que esto funciona en cualquier $2$ -categoría.

$$\require{AMScd}\begin{CD} \mathcal A @>Y>> \mathcal E @>G>> \mathcal C\\ @VXVV \overset\epsilon\Rightarrow @| \overset{\epsilon'}\Leftarrow @VFVV\\ \mathcal B @>Z>> \mathcal E @>J>>\mathcal D \end{CD}$$ (Como amscd es inflexible, para mayor claridad se supone que las transformaciones naturales son $ZX\overset\epsilon\Rightarrow Y$ y $FG\overset{\epsilon'}\Rightarrow J$ ).

Lema. Supongamos que

1. $JZX\overset{\epsilon_1}\Rightarrow JY$ es una extensión Kan derecha de $\mathcal A\xrightarrow{JY}\mathcal D$ a lo largo de $\mathcal A\xrightarrow{X}\mathcal B$ . En nuestro caso $JZX\overset{\epsilon_1}\Rightarrow JY$ es $JZX\overset{J\epsilon}\Rightarrow JY$ .
2. $FGZ\overset{\epsilon_2}\Rightarrow JZ$ una elevación del Kan derecho de $\mathcal B\xrightarrow{JZ}\mathcal D$ a lo largo de $\mathcal C\xrightarrow{F}\mathcal D$ . En nuestro caso $FGZ\overset{\epsilon_2}\Rightarrow JZ$ es $FGZ\overset{\epsilon'Z}\Rightarrow JZ$ .
3. $FGY\overset{\epsilon_3}\Rightarrow JY$ es un elevador Kan derecho de $\mathcal A\xrightarrow{JY}\mathcal D$ a lo largo de $\mathcal C\xrightarrow{F}\mathcal D$ . En nuestro caso $FGY\overset{\epsilon_3}\Rightarrow JY$ es $FGY\overset{\epsilon'Y}\Rightarrow JY$ .

Entonces

• La extensión única de la derecha $GZX\overset{\epsilon_4}\Rightarrow GY$ de $\mathcal A\xrightarrow{GY}\mathcal C$ a lo largo de $\mathcal A\xrightarrow{X}\mathcal B$ tal que el ascensor derecho $FGZX\overset{\epsilon_2X}\Rightarrow JZX\overset{\epsilon_1}\Rightarrow JY$ de $\mathcal A\xrightarrow{GZX}\mathcal C$ de $\mathcal A\xrightarrow{JY}\mathcal D$ factores como $FGZX\overset{F\epsilon_4}\Rightarrow FGY\overset{\epsilon_3}\Rightarrow JY$ . En nuestro caso $GZX\overset{\epsilon_4}\Rightarrow GY$ es $GZX\overset{G\epsilon}\Rightarrow GY$ .

Corolario 1. Un ascensor Kan derecho $\mathcal E\xrightarrow{G}\mathcal C$ de $\mathcal E\xrightarrow{J}\mathcal D$ conserva una extensión de Kan $\mathcal B\xrightarrow{Z}\mathcal E$ de $\mathcal A\xrightarrow{Y}\mathcal E$ si ambos $\mathcal B\xrightarrow{Z}\mathcal C$ y $\mathcal A\xrightarrow{Y}\mathcal E$ respetar el derecho a la elevación de Kan.

Corolario 2.. Por definición, el relativo $\mathcal E\xrightarrow{G}\mathcal C$ es un adjunto derecho relativo $F\dashv_JG$ si se trata de un levantamiento de Kan derecho de $\mathcal E\xrightarrow{J}\mathcal D$ a lo largo de $\mathcal C\xrightarrow{F}\mathcal D$ es decir absoluto es decir, respetado por cada functor a $\mathcal E$ . Por lo tanto, un adjunto derecho relativo $F\dashv_J G$ conserva todas las extensiones del derecho de Kan que $J$ lo hace.

Corolario 3. Dado que un adjunto derecho es el adjunto relativo al functor de identidad, preserva todas las extensiones de Kan derecho.

Answer 2

Con el límite correcto, te queda el colímite.

Answer 3

Tanto las colindancias como los límites hablan de cómo los mapas en un objeto se comportan, por lo que se conmutan.

Me gusta esto ya que no sólo es una buena mnemotecnia, sino que realmente contiene la idea utilizada en la prueba.

Alternativamente, límites naturalmente a la a la derecha de una flecha.