Mnemotecnia para el hecho de que un functor adjunto derecho(izquierdo) preserva los límites(colímites)

Question

Un functor adjunto derecho preserva los límites. A su vez, un functor adjunto a la izquierda preserva los colímites. A menudo olvido cuál es cuál. Por supuesto, puedes buscar en un libro de teoría de categorías o usar internet. Pero es bueno si hay un buen método mnemotécnico para recordar estos hechos.

Answer 1

Recuerdo esto (y otros hechos relacionados) de la siguiente manera: Un adjunto izquierdo $F$ se caracteriza por morfismos en $F(x)$ y un colímite se caracteriza por morfismos en lo. A su vez, un adjunto derecho $G$ se caracteriza por morfismos en $G$ y un límite se caracteriza por morfismos en lo. Así que básicamente lo repruebo todo el tiempo, después de todo es sólo una línea:

$(\mathrm{colim}_i F(x_i),-) = \mathrm{lim}_i (F(x_i),-) = \mathrm{lim}_i (x_i,G(-))=(\mathrm{colim}_i x_i,G(-))=(F(\mathrm{colim}_i x_i),-)$

Answer 2

El a la derecha lo que hay que conservar es la límite .

Answer 3

La forma más fácil de recordar cuál es cuál es es trabajar a través de la prueba de que, por ejemplo, los adyacentes a la izquierda preservan los colímetros. He aquí un esquema rápido, con $F \dashv U$ :

\begin{align} \textrm{Hom}(F \varinjlim A_\bullet, B) \cong \textrm{Hom}(\varinjlim A_\bullet, U B) & \cong \varprojlim \textrm{Hom}(A_\bullet, U B) \\ & \cong \varprojlim \textrm{Hom}(F A_\bullet, B) \cong \textrm{Hom}(\varinjlim F A_\bullet, B) \end{align}

Desgraciadamente, no existe una mnemotecnia realmente buena en general porque el uso de izquierda/derecha es incoherente. Por ejemplo:

• A la derecha colindan con los límites de la reserva, por lo que son a la izquierda exacto.
• A la derecha Los funtores derivados son a la izquierda Extensiones de kan (cuando se trabaja con categorías derivadas).
• Los monomorfismos constituyen el a la derecha clase de un sistema de factorización ortogonal en categorías regulares, pero se conservan por a la izquierda funtores exactos (y por lo tanto por a la derecha colindantes).

Al final, la única manera de estar seguro de cuál es cuál es es recordar si la cosa en cuestión aparece a la izquierda o a la derecha en el diagrama invocado en la definición. Así, por ejemplo:

• Los contiguos a la izquierda se denominan "izquierdos" porque aparecen a la izquierda del $\to$ en la correspondencia biyectiva $$\frac{F A \to B}{A \to U B}$$
• Los funtores exactos de izquierda son "de izquierda" porque preservan las secuencias exactas de izquierda, que son "de izquierda" porque son la parte izquierda de una secuencia exacta corta: $$0 \longrightarrow A' \longrightarrow A \longrightarrow A''$$
• Los funtores derivados a la izquierda son "a la izquierda" porque extienden una secuencia exacta a la izquierda: $$\cdots \longrightarrow L^1 F A'' \longrightarrow F A' \longrightarrow F A \longrightarrow F A'' \longrightarrow 0$$
• Las extensiones Kan izquierdas son "izquierdas" porque el functor que lleva un functor a su extensión Kan izquierda es el adjunto izquierdo del funtor de precomposición.

Answer 4

Sólo hay que recordar un caso particular de adjuntos a la izquierda y a la derecha, por ejemplo el adjunto a la izquierda $F$ al funtor de olvido $U$ de los grupos a los conjuntos. $F(X)$ es el grupo libre del conjunto $X$ .

El functor de olvido $U$ obviamente conserva los productos pero no los coproductos, mientras que $F$ obviamente conserva los coproductos pero no los productos.

Answer 5

Así es como lo hago yo.

A veces los límites se llaman límites inversos y se denota por $\varprojlim$ mientras que los colímites se denominan límites directos y se denota por $\varinjlim$ .

Ahora, un functor que tiene un adjunto en alguna dirección, conservan los límites en la misma dirección.

Desenredar, un functor que tiene un adjunto izquierdo (es decir, que es un adjunto derecho ) preserva los límites que apuntan a la izquierda, es decir, preserva límites inversos o sólo los límites, si lo prefiere. A su vez, un functor que tiene un adjunto derecho preserva los límites que apuntan a la derecha y que son límites directos, también conocidos como colímites.