Gráficos de funciones y conjuntos de niveles.

Question

Al ir a través de los primeros capítulos de mi cálculo multivariable libro, me encontré con lo siguiente:

La gráfica de una función de dos variables es una superficie en $\mathbb{R}^3$ y es un conjunto de nivel de una función de tres variables. Sin embargo, no todos los conjuntos de nivel de funciones de tres variables, se muestran las gráficas de funciones de dos variables.

Me estoy encontrando problemas para comprender la noción de esta forma intuitiva. Es realmente imposible encontrar un gráfico arbitrario que corresponde a un determinado nivel de juego (para los casos mencionados anteriormente)?

Podría pedir para un ejemplo concreto que demuestra la declaración?

Answer 1

La declaración es un poco vago, pero creo que esto es probablemente lo que el autor quiere decir.

La gráfica de una función de dos variables... es un conjunto de nivel de una función de tres variables. Es decir, si $f(x,y)$ es una función de dos variables, entonces la gráfica de $z=f(x,y)$ puede ser escrito como $$z-f(x,y)=0\ .$$ Si ahora definir una función de tres variables $$g(x,y,z)=z-f(x,y)\ ,$$ a continuación, el de arriba es simplemente $$g(x,y,z)=0\ .$$ Este es un ejemplo de un conjunto de nivel de $g$, es decir, es $g(x,y,z)={}$ constante.

Sin embargo, no todos los conjuntos de nivel de funciones de tres variables, se muestran las gráficas de funciones de dos variables. Por ejemplo, considere la posibilidad de $$g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2\ .$$ Uno de sus conjuntos de nivel es $x^2+y^2+z^2=1$, una esfera. Sin embargo, esto no puede ser escrito en un formulario donde $z$ es una función de $(x,y)$, debido a que muchos de los valores de $(x,y)$ dar dos posibilidades para $z$.

Answer 2

Considere una esfera tridimensional$$x^2+y^2+z^2 = 1.$$ It is the level set of the function $ f: \ mathbb {R} ^ 3 \ to \ mathbb {R}$ given by $$f(x,y,z) = x^2 +y^2 +z^2$$ for $ f (x , y, z) = 1$. You cannot write any of the $ x, y, z$ in terms of the other two. For example, if you isolate $ z$ in terms of $ x, y$ you will arrive at $$z^2 = 1-x^2-y^2.$$ This will force you to make a choice. Either $ z \ geq 0 $ or $ z \ leq 0$. You cannot have both simultaneously. Thus $$z = \sqrt{1-x^2-y^2}$$ or $$z= - \sqrt{1-x^2-y^2}.$ $ El primero toma la parte superior de la esfera, mientras que el segundo toma la parte inferior. En ambos casos hay puntos de la esfera no cubiertos por la función.