Cómo integrar $\int_{0}^{1}\ln\left(\, x\,\right)\,{\rm d}x$ ?

Question

Encontré esta integral en el cálculo de la teoría del campo cuántico. ¿Puedo hacer esto?

$$ \left. \int_{0}^{1}\ln\left(\, x\,\right)\,{\rm d}x =x\ln\left(\, x\,\right)\right\vert_{0}^{1} -\int_{0}^{1}\,{\rm d}x =\left. x\ln\left(\, x\,\right)\right\vert_{\, x\ =\ 0}\ -\ 1 $$

Así que el primer término parece divergente. Pero Mathematica da un resultado finito y la integral es $-1$ . ¿Por qué el primer término no es divergente?

Answer 1

Utilice la regla de L'Hopital para resolver la forma indeterminada: $$\lim_{x\to 0^+}x\ln x=\lim_{x\to 0^+}{\ln x\over x^{-1}}=\lim_{x\to 0^+}{x^{-1}\over -x^{-2}}=\lim_{x\to 0^+}(-x)=0$$

Answer 2

Interpretar $\int_0^1 \ln x dx$ como el área firmada de la región delimitada por $x = 0, y= \ln(x)$ y $y = 0$ es el negativo del área de la región delimitada por $x = e^y, y = 0$ y $x = 0$ (Intercambio $x$ y $y$ en el límite anterior). el área de esta última región es $\int_{-\infty}^0 e^y dy = 1.$ así que $\int_0^1 \ln(x) dx = -1.$

Otra forma de pensar en lo mismo es que en el primer cálculo del área tienes los rectángulos infinitesimales paralelos al $y$ -en este último los rectángulos infinitesimales paralelos a $x$ -eje.

Answer 3

Sugerencia: Utilice la regla de L'Hopital para evaluar $\lim_{x\to0^+}x\ln x$ .

Answer 4

O bien, utilice la sustitución $x=e^y$ .

Answer 5

Tenemos $$\begin{gathered} \int\limits_0^1 {\ln xdx} = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to {0^ + }} \int\limits_\varepsilon ^1 {\ln xdx} = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to {0^ + }} \left( {\left. {\left( {x\ln x} \right)} \right|_{x = \varepsilon }^{x = 1} - \int\limits_\varepsilon ^1 {dx} } \right) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to {0^ + }} \left( { - \varepsilon \ln \varepsilon - 1 + \varepsilon } \right) \hfill \\ = - \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to {0^ + }} \varepsilon \ln \varepsilon - 1. \hfill \\ \end{gathered}$$ Por otro lado, por la regla de L'Hospital, tenemos $$\mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to {0^ + }} \varepsilon \ln \varepsilon = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to {0^ + }} \frac{{\ln \varepsilon }} {{\frac{1} {\varepsilon }}} = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to {0^ + }} \frac{{\frac{1} {\varepsilon }}} {{ - \frac{1} {{{\varepsilon ^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon \to {0^ + }} \left( { - \varepsilon } \right) = 0.$$ Así que $$\int\limits_0^1 {\ln xdx} = - 1.$$