Equivalencia entre dos definiciones de gavillas

Question

Estoy leyendo "Notas sobre topologías de Grothendieck, categorías con fibras y teoría de la descendencia", versión del 2 de octubre de 2008, de Angelo Vistoli, introduce la definición de gavilla en la página $31$ Definición $2.37$ , artículo $ii$ :

Definición $2.37$ . Dejemos que $\mathcal{C}$ ser un sitio, $F:\mathcal{C}^{op}\rightarrow (Set)$ un functor.

$(i)$ $F$ es separado si, dada una cobertura ${\mathcal{U}_i\rightarrow\mathcal{U}}$ y dos secciones $a$ y $b$ en $F\mathcal{U}$ cuyos retrocesos a cada $F\mathcal{U}_i$ coinciden, se deduce que $a=b$ .

$(ii)$ $F$ es un gavilla si se cumple la siguiente condición: supongamos que nos dan una cobertura ${\mathcal{U}_i\rightarrow\mathcal{U}}$ en $\mathcal{C}$ y un conjunto de elementos $a_i\in F\mathcal{U}_i$ . Denote por $pr_1:\mathcal{U}_i\times_{\mathcal{U}}\mathcal{U}_j\rightarrow \mathcal{U}_i$ y $pr_2:\mathcal{U}_i\times_{\mathcal{U}}\mathcal{U}_j\rightarrow \mathcal{U}_j$ la primera y la segunda proyección, respectivamente, y se supone que $pr_{1}^{*}a_i=pr_{2}^{*}a_j\in F(\mathcal{U}_i\times_{\mathcal{U}}\mathcal{U}_j)$ para todos $i$ y $j$ . Luego hay una sección única $a\in F\mathcal{U}$ cuyo retroceso a $F\mathcal{U}_i$ es $a_i$ para todos $i$ .

Si $F$ y $G$ son gavillas en un sitio $\mathcal{C}$ un morfismo de láminas $F\rightarrow G$ es simplemente una transformación natural.

Se separa una gavilla en un sitio.

Quiero demostrar la equivalencia de esa definición con la que se da en la teoría de categorías, utilizando igualadores:

Dejemos que $\mathcal{C}$ ser un sitio de Grothendieck. A pre-sheaf de los grupos abelianos es un functor $F:\mathcal{C}^0\rightarrow Ab$ .

A gavilla es una preforma tal que para cada objeto $\mathcal{U}$ de $\mathcal{C}$ y toda cobertura ${\mathcal{U}_i\rightarrow \mathcal{U}}$ El siguiente diagrama

$F(\mathcal{U})\xrightarrow{Equalizer} \prod_iF(\mathcal{U}_i)\xrightarrow[g]{f}\prod_{i,j} F(\mathcal{U}_i\times_{\mathcal{U}}\mathcal{U}_j)$

es un ecualizador".

Donde la definición de ecualizador es la siguiente:

Definición de ecualizador: Dejemos que $X,Y\in\mathcal{C}$ y $f,g\in Mor(E,X)$ . Un ecualizador es un par $(E,Eq)$ tal que $E\in\mathcal{C}$ y $f\circ Eq=g\circ Eq$ y si hay otro par $(A,h)$ tal que $A\in \mathcal{C}$ y $h\in Mor(A,X)$ tal que $f\circ h= g\circ h$ entonces $\exists!\Phi:A\longrightarrow E$ con $Eq\circ \Phi=h$ .

Las sugerencias y respuestas serán tremendamente apreciadas. Gracias de antemano.

Answer 1

Esto es bastante rápido una vez que se conocen las construcciones del diagrama del que se toma el igualador y de los igualadores en la categoría de conjuntos. Para el primero, el mapa $f$ es precisamente $f((a_i))=(pr_1^*a_i)$ y de forma similar para $g$ . El ecualizador es esto exactamente todas las familias $(a_i)$ tal que $pr_1^*a_i=pr_2^*a_j$ por cada $i$ y $j$ .