¿Por qué las soluciones no reales de un polinomio se producen por pares complejos conjugados?

Question

Entonces, si tengo un polinomio con coeficientes reales y la solución$x+iy$, ¿por qué$x-iy$ siempre es una solución también?

Deje que$z$ y$w$ sean números complejos, con$w^{\ast}$ = complejo conjugado de$w$, luego$$(z-w)(z-w^{\ast}) = z^2 -2z\mathrm{Re}(w) + |w|^2$ $ Todos los coeficientes son reales, pero ¿cómo lo demuestro? la otra direccion?

Answer 1

Si$f$ es el polinomio y$z$ es una raíz, entonces$f(z)=0$. Pero$f(\bar z)=\overline{f(z)}=\bar 0=0$, así que$\bar z$ también es una raíz.

EDITAR: (¿Por qué es$f(\bar z)=\overline{f(z)}$)
Primero, tenga en cuenta que por cada par de números complejos$w,z$ tiene:

• $\bar z\bar w=\overline{zw}$
• $\bar z+\bar w=\overline{z+w}$

Ahora ponga$f(X)=\sum_{j=0}^n a_jX^j$. Entonces,$$f(\bar z)=\sum_{j=0}^n a_j\bar z^j=\sum_{j=0}^n a_j\overline{z^j}\stackrel*=\sum_{j=0}^n \overline{a_jz^j}=\overline{\sum_{j=0}^na_jz^j}=\overline{f(z)}$ $

(*) Aquí es esencial que$a_j\in\Bbb R$.

Answer 2

En primer lugar, nos muestran que si un número complejo es una raíz de una ecuación polinomial, entonces su conjugado complejo también es raíz de la ecuación polinómica. Considere la posibilidad de $$f(x) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} x^{i} = 0,$$ en que $a_{i} \in \mathbb{R}$. Supongamos que algunos complejo de número de $\xi$ es una raíz de $f(x) = 0$; es decir, $$f(\xi) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \xi^{i} = 0.$$ Ahora, vamos a $\xi^{\ast}$ ser el conjugado complejo de $\xi$. Por las propiedades de los complejos de la conjugación, $$ f(\xi^{\ast}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} (\xi^{\ast})^{i} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} (\xi^{i})^{\ast} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \xi^{i})^{\ast} = \left(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \xi^{i}\right)^{\ast}. $$ Desde $$\left(\sum_{i = 1}^{n} a_{i} \xi^{i}\right)^{\ast} = 0^{\ast},$$ de ello se sigue que $$ f(\xi^{\ast}) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} (\xi^{\ast})^{i} = 0^{\ast} = 0, $$ como se requiere.

Desde el complejo conjugado raíces vienen en el conjugado de a pares, incluso hay varios de ellos. Se sigue de esto y el teorema fundamental del álgebra que un polinomio incluso de grado tiene incluso el número de raíces reales o incluso el número de complejo conjugado raíces, o de ambos, mientras que un polinomio de grado impar tiene siempre un número impar de raíces reales, el resto de ellos es el complejo conjugado de pares.

Answer 3

Bien, para conseguir que no las raíces reales de un polinomio real, ampliar los reales mediante la adición de un formal símbolo, que normalmente se llama 'yo', pero voy a llamar 'h' sólo para ser diferente, con la restricción de que h^2=-1. Entonces usted consigue una cierta raíz que implican h.

Pero ahora nos dicen que, "realmente" la raíz de -1 es 'yo', por lo que el establecimiento i=h da la raíz acabamos de encontrar. Pero entonces nos preguntamos, ¿qué pasa si 'yo' es realmente -h? Puede haber alguna diferencia? Puesto que (-h)^2 también es -1, por elemental de álgebra, no hay manera de decir que h es "realmente" o yo -yo. Pero si un no-valor real eran una raíz sin su complejo conjugado de ser una raíz, entonces no sería una contradicción, porque tendríamos que haber una manera de decir que de i y -i es "realmente" h.

Esta es una muy informal argumento, pero creo que el quid de la cuestión es que yo sólo se define de esta manera formal.