Estoy tratando de resolver esta pregunta,
Si$(x^2+y^2+z^2)=2(x+z-1)$, entonces muestre que$x^3+y^3+z^3$ es constante y encuentre su valor numérico.
He intentado esto,$$x^2-2x + z^2-2z + 2 + y^2 = 0$ $$$ (x-1)^2 + (z-1)^2 + y^2 = 0$ $
El lado izquierdo solo puede convertirse en$0$ si$x=1$,$y=0$ y$z=1$, por lo que la única solución es$x=z=1$ y$y=0$, lo que da $x^3 + y^3 + z^3 = 2$.
- ¿Lo he resuelto correctamente?
- ¿Y hay algún otro método para resolverlo?
El OP escribió:
La izquierda sólo puede llegar a ser $0$ si $x=1$, $y=0$ y $z=1$, por lo que la única solución es$x=z=1$$y=0$, lo que da $x^3 + y^3 + z^3 = 2$.
Me gustaría añadir una justificación de que estos valores para $x$, $y$, y $z$ son únicos.
Sabemos que cada uno de los tres términos, $(x-1)^2$, $(z-1)^2$ y $y^2$ son positivas si estamos tratando con Números Reales. Así que, si alguno de ellos no eran cero, entonces al menos uno de los otros términos tendría que ser negativo para la ecuación para la igualdad de $0$. Si estamos tratando con Números Reales, que no es posible. De modo que cada término debe igualdad de $0$.
Una vez que la justificación es tomado en cuenta, incluyendo la suposición de que ${x,y,z}\in \mathbb R$, entonces creo que el OP ha hecho una demostración de sonido.
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